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(多元线性回归模型)课件

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(多元线性回归模型)课件

计 量 经 济 学 Econometrics,2015-2016-1,任课教师: 范国斌,第三章 多元线性回归模型,2,引子:中国汽车的保有量将会达到1.4亿辆吗 ?,中国经济的快速发展,居民收入不断增加,数以百万计 的中国人开始得以实现拥有汽车的梦想,中国也成为世界上 成长最快的汽车市场。 中国交通部副部长在中国交通可持续发展论坛上做出的预 测 :“2020年,中国的民用汽车保有量将比2003年的数字 增长倍,达到1.4亿辆左右”。 什么因素导致中国汽车数量的增长? 显然,影响中国汽车行业发展的因素并不是单一的,经济增 长、居民收入、消费趋势、市场行情、业界心态、能源价格、 道路发展、内外环境,都会使中国汽车行业面临机遇和挑战。,3,分析中国汽车行业未来的趋势,应当具体分析这样一些问题: 中国汽车市场发展的状况如何?(用销售量观测) 影响中国汽车销量的主要因素是什么? (如收入、价格、费用、道路状况、能源、政策环境等) 各种因素对汽车销量影响的性质怎样?(正、负) 各种因素影响汽车销量的具体数量关系是什么? 所得到的数量结论是否可靠? 中国汽车行业今后的发展前景怎样?应当如何制定汽车的产业 政策? 很明显,只用一个解释变量很难分析汽车产业的实际发展,简 单线性回归模型不能解决多因素问题的分析,还需要去寻求有 更多个解释变量情况的回归分析方法。,怎样分析多种因素的影响呢?,4,多元线性回归模型,本章讨论: 将简单线性回归的的研究方式推广到多元的情况 多元线性回归模型及古典假定 多元线性回归参数的估计 多元线性回归模型的检验 多元线性回归预测,5,(一) 多元线性回归模型及古典假定 1、多元线性回归模型的意义 一般形式:对于有K-1个解释变量的线性回归模型 注意:模型中的 (j=2,3,-k)是偏回归系数 样本容量为n 偏回归系数: 控制其它解释量不变的条件下,第j个解释变量的单位变动对被解释变量平均值的影响,即对Y平均值“直接”或“净”的影响。,6,对偏回归系数的理解,例如 并且 可证明 (证明见古加拉蒂计量经济学第三版附录7A.5) 结论: 只要 , 与 是有区别的。 不仅包括 对Y平均值的“直接”影响,还包括由于 的变动 对Y平均值的“间接”影响。,对比,(误差项),7,从残差理解偏回归系数,例如 1、作回归 ,则 , 表示除去 影响后的 2、作回归 ,则 , 表示除去 影响后的 将 对 回归(因 和 的均值为0,为过原点的回归), 则 可以证明,这样估计的 与估计的 是一致的,而 与 是不一致的。 (证明见古加拉蒂计量经济学第四版附录7A.2),7,对比,8,由 将 、 代入得 由后面将讲的OLS估计量可知,这就是多元回 归中 的估计式,证明过程(参考),9,多元线性回归中的“线性” 指对各个回归系数而言是“线性”的,对变量则可以是线性的,也可以是非线性的 例如:生产函数 取对数 这也是多元线性回归模型,只是这时变量为lnY、lnL、lnK,10,多元总体回归函数 条件期望表现形式: 将Y的总体条件期望表示为多个解释变量的函数,如: 注意:这时Y总体条件期望的轨迹是K维空间的一条线 个别值表现形式: 引入随机扰动项 或表示为,直观理解(供参考),12,多元样本回归函数 Y 的样本条件均值可表示为多个解释变量的函数 或回归剩余(残差): 其中,13,2、多元线性回归模型的矩阵表示,多个解释变量的多元线性回归模型的n组样本观测值,可 表示为 用矩阵表示,14,总体回归函数 或 样本回归函数 或 其中: 都是有n个元素的列向量 是有k 个 元素的列向量 ( k = 解释变量个数 + 1 ) 是第一列为1的n×k阶解释变量数据矩阵 , (截距项可视为解释变量总是取值为1),矩阵表示方式,15,3、多元线性回归中的基本假定,假定1:零均值假定 ( i=1,2,-n) 或 E(u)=0 假定2和假定3:同方差和无自相关假定: 或 假定4:随机扰动项与解释变量不相关 Cov( )=0 k=2,3,-k,(i=j),(ij),0,16,假定5: 无多重共线性假定 (多元中增加的) 假定各解释变量之间不存在线性关系,或各个解释变量观测值之间线性无关。或解释变量观测值矩阵X的秩为K(注意X为n行K列)。 Ran(X)= k Rak(X'X)=k 即 (X'X) 可逆 假定6:正态性假定,17,(二) 多元线性回归模型的估计,1.普通最小二乘法(OLS) 原则:寻求剩余平方和最小的参数估计式 即 求偏导,并令其为0 即,18,用矩阵表示的正规方程 偏导数 因为样本回归函数为 两边左乘 根据最小二乘原则 则正规方程为,19,OLS估计式 由正规方程 多元回归中 只有两个解释变量时: 注意: 为X、Y的离差,对比,简单线性回归中,20,OLS回归线的数学性质 (与简单线性回归相同),回归线通过样本均值 估计值 的均值等于实际观测值 的均值 剩余项 的均值为零 被解释变量估计值 与剩余项 不相关 解释变量 与剩余项 不相关 (j=2,3,-k),21,2、 OLS估计式的统计性质,1、 线性特征 是Y的线性函数,因 是非随机或取固定值的矩阵 2、 无偏特性 (证明见教材P80) 3、 最小方差特性 在 所有的线性无偏估计中,OLS估计 具有最小方差 (证明见教材P101附录3.1) 结论:在古典假定下,多元线性回归的 OLS估 计式是最佳线性无偏估计式(BLUE),22,3、 OLS估计的分布性质 基本思想: 是随机变量,必须确定其分布性质才可能进行区间估计和假设检验 是服从正态分布的随机变量, 决定了Y也是服从正态分布的随机变量 是Y的线性函数,决定了 也是服从正态分布的随机变量,23, 的期望 (由无偏性) 的方差和标准误差: 可以证明 的方差协方差矩阵为(见下页) 这里的 (其中 是矩阵 中第 j 行第 j 列的元素) 所以 (j=1,2,-k),的期望与方差,24,的方差协方差矩阵,其中:,(由无偏性),(由同方差性),(由OLS估计式),25,4、 随机扰动项方差 的估计,一般未知,可证明多元回归中 的无偏 估计为:(证明见P103附录3.2) 或表示为 将 作标准化变换:,26,未知时 的标准化变换,因 是未知的, 可用 代替 去估计参数的标准误差: 当为大样本时,用估计的参数标准误差对 作标准化变换,所得 Z 统计量仍可视为服从正态分布 当为小样本时,用估计的参数标准误差对 作标准化变换,所得的 t 统计量服从 t 分布:,27,5. 回归系数的区间估计,由于 给定 ,查t分布表的自由度为 n-k 的临界值 或 或表示为,28,(三) 多元线性回归模型的检验,1、多元回归的拟合优度检验 多重可决系数:在多元回归模型中,由各个解释 变量联合起来解释了的Y的变差,在Y的总变差中占 的比重,用 表示 与简单线性回归中可决系数 的区别只是 不同 多元回归中 多重可决系数可表示为 (注意:红色字体是与一元回归不同的部分),29,多重可决系数的矩阵表示 可用代数式表达为 特点:多重可决系数是模型中解释变量个数的不减函 数,这给对比不同模型的多重可决系数带来缺陷, 所以需要修正。,30,可决系数的修正方法 总变差 TSS 自由度为 n-1 解释了的变差 ESS 自由度为 k-1 剩余平方和 RSS 自由度为 n-k 修正的可决系数为,31,修正的可决系数 思想:可决系数只涉及变差,没有考虑自由度。 如果用自由度去校正所计算的变差,可纠 正解释变量个数不同引起的对比困难。 回顾: 自由度:统计量的自由度指可自由变化的样本观 测值个数,它等于所用样本观测值的个 数减去对观测值的约束个数。,32,修正的可决系数 与可决系数 的关系 已经导出: 注意: 可决系数 必定非负,但所计算的修正可决系数 有可能为负值 解决办法:若计算的 ,规定 取值为0,33,运用可决系数时应注意:, 在多元回归中,可决系数只是说明列入模型的所有 解释变量对被解释变量的联合的影响程度,不说明模 型中每个解释变量的影响程度 如果回归的主要目的是经济结构分析,不能只追 求高的可决系数,而是要得到总体回归系数可靠的 估计量。可决系数高并不一定每个回归系数都可信任。 如果研究的主要目的只是为了预测被解释变量的值, 不是为了正确估计回归系数,一般可考虑有较高的可 决系数。,34,2、回归方程的显著性检验(F检验),基本思想: 在多元回归中包含多个解释变量,它们与被解释 变量是否有显著关系呢? 当然可以分别检验各个解释变量对被解释变量影 响的显著性。 但为了说明所有解释变量联合起来对被解释变量 影响的显著性, 或整个方程总的联合显著性,需要对方 程的总显著性在方差分析的基础上进行F检验。,35,在讨论可决系数时已经分析了被解释变量总变差 TSS的分解及自由度: TSS=ESS+RSS 注意: Y的样本方差= 总变差/自由度 即 显然,Y的样本方差也可分解为两部分,可用方 差分析表分解,35,(1)方差分析,36,总变差 TSS= 自由度 n1 模型解释了的变差 ESS= 自由度 k1 剩余变差 RSS= 自由度 nk,变差来源 平 方 和 自由度 方 差 归于回归模型 ESS= k-1 归于剩余 RSS= n-k 总变差 TSS= n-1 基本思想: 如果多个解释变量联合起来对被解释变量的影响不显著, “归于回 归的方差”应该比“归于剩余的方差”显著地小(即这应是大概率事件)。,方差分析表,37,(2)F检验,原假设: (所有解释变量联合起来对被解释变量的影响不显著) 备择假设: 不全为0 建立统计量: 给定显著性水平 ,查F分布表中自由度为 k-1 和 n-k 的临界值 ,并通过样本观测 值计算F值,38,F检验方式,如果计算的F值大于临界值 (小概率事件发生) 则拒绝 ,说明回归模型有显 著意义,即所有解释变量联合起来对Y确有显著影响。 如果计算的F值小于临界值 (大概率事件发生) 则不拒绝 ,说明回归模型没 有显著意义,即所有解释变量联合起来对Y没有显著 影响。,39,(3) 可决系数的显著性检验,拟合优度检验与对线性回归的总体显著性的 F 检验是从不同原理 出发的两类检验,但二者有内在联系: 拟合优度检验从已估计的模型出发,检验对样本观测值的拟 合程度

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