计量经济学-第二章-简单线性回归模型

计量经济学,第 二 章 简单线性回归模型,2,从2004中国国际旅游交易会上获悉，到2020年，中国旅游业总收入将超过3000亿美元，相当于国内生产总值的8%至11%。（资料来源：国际金融报2004年11月25日第二版） 是什么决定性的因素能使中国旅游业总收入到2020年达到3000亿美元？ 旅游业的发展与这种决定性因素的数量关系究竟是什么？ 怎样具体测定旅游业发展与这种决定性因素的数量关系?,引子: 中国旅游业总收入将超过3000亿美元吗？,3,第二章 简单线性回归模型,本章主要讨论: 回归分析与回归函数 简单线性回归模型参数的估计 拟合优度的度量 回归系数的区间估计和假设检验 回归模型预测,4,第一节 回归分析与回归方程,本节基本内容: 回归与相关 总体回归函数 随机扰动项 样本回归函数,5,1. 经济变量间的相互关系 确定性的函数关系 不确定性的统计关系相关关系 (为随机变量) 没有关系,一、回归与相关 （对统计学的回顾）,6,7,相关关系的类型 从涉及的变量数量看 简单相关 多重相关（复相关） 从变量相关关系的表现形式看 线性相关散布图接近一条直线 非线性相关散布图接近一条曲线 从变量相关关系变化的方向看 正相关变量同方向变化，同增同减 负相关变量反方向变化，一增一减 不相关,8,9, 和 都是相互对称的随机变量 线性相关系数只反映变量间的线性相关程度，不 能说明非 线性相关关系 样本相关系数是总体相关系数的样本估计值，由 于抽样波动，样本相关系数是个随机变量，其统 计显著性有待检验 相关系数只能反映线性相关程度，不能确定因果 关系，不能说明相关关系具体接近哪条直线 计量经济学关心：变量间的因果关系及隐藏在随机性后面的统计规律性，这有赖于回归分析方法,使用相关系数时应注意,10,4. 回归分析,回归的古典意义： 高尔顿遗传学的回归概念 ( 父母身高与子女身高的关系) 回归的现代意义： 一个应变量对若干解释变量 依存关系 的研究 回归的目的（实质）： 由固定的解释变量去 估计应变量的平均值,11, 的条件分布 当解释变量 取某固定值时（条件）， 的值不确定， 的不同取值形成一定的分布，即 的条件分布。 的条件期望 对于 的每一个取值， 对 所形成的分布确 定其期望或均值，称 为 的条件期望或条 件均值,注意几个概念,12,13,回归函数：应变量 的条件期望 随解释变量 的的变化而有规律的变化，如果把 的条件期望 表现为 的某种函数 这个函数称为回归函数。 回归函数分为：总体回归函数和样本回归函数,举例：假如已知100个家庭构成的总体。,回归线与回归函数,14,例:100个家庭构成的总体 (单位:元),15,16,17,实际的经济研究中总体回归函数通常是未知的，只能根据经济理论和实践经验去设定。“计量”的目的就是寻求PRF。 总体回归函数中 与 的关系可是线性的，也可是非线性的。 对线性回归模型的“线性”有两种解释 就变量而言是线性的 的条件均值是 的线性函数 就参数而言是线性的 的条件均值是参数 的线性函数,3.如何理解总体回归函数,18,19,三、随机扰动项,概念: 各个 值与条件均值 的偏差 代表 排除在模型以外的所有 因素对 的影响。 性质： 是期望为0有一定分布的随机变量 重要性：随机扰动项的性质决定着计量经济方 法的选择,20, 未知影响因素的代表 无法取得数据的已知影响因素的代表 众多细小影响因素的综合代表 模型的设定误差 变量的观测误差 变量内在随机性,引入随机扰动项的原因,21,四、样本回归函数（SRF）,22,SRF 的特点,每次抽样都能获得一个样本，就可以拟合一条样本回 归线，所以样本回归线随抽样波动而变化，可以有许多条（SRF不唯一）。,SRF2,23,样本回归函数的函数形式应与设定的总体回归函数的函数形式一致。 样本回归线还不是总体回归线，至多只是未知总体回归线的近似表现。,24,25,对样本回归的理解,如果能够获得 和 的数值，显然: 和 是对总体回归函数参数 和 的估计 是对总体条件期望 的估计 在概念上类似总体回归函数中的 ，可 视为对 的估计。,26,27,28,第二节 简单线性回归模型的最小二乘估计,本节基本内容: 简单线性回归的基本假定 普通最小二乘法 OLS回归线的性质 参数估计式的统计性质,29,一、简单线性回归的基本假定,1. 为什么要作基本假定？ 模型中有随机扰动，估计的参数是随机变量， 只有对随机扰动的分布作出假定，才能确定 所估计参数的分布性质，也才可能进行假设 检验和区间估计 只有具备一定的假定条件，所作出的估计才 具有较好的统计性质。,30,（1）对模型和变量的假定 如 假定解释变量 是非随机的，或者虽然是随机的，但与扰动 项 是不相关的 假定解释变量 在重复抽样中为固定值 假定变量和模型无设定误差,2、基本假定的内容,31,又称高斯假定、古典假定 假定1：零均值假定 在给定 的条件下 ， 的条件期望为零 假定2：同方差假定 在给定 的条件下， 的条件方差为某个常数,（2）对随机扰动项 的假定,32,假定3：无自相关假定 随机扰动项 的逐次值互不相关 假定4：随机扰动 与解释变量 不相关,33,假定5：对随机扰动项分布的正态性假定 即假定 服从均值为零、方差为 的正态分布 （说明：正态性假定不影响对参数的点估计，但对确定所估计参数的分布性质是需要的。且根据中心极限定理，当样本容量趋于无穷大时， 的分布会趋近于正态分布。所以正态性假定是合理的）,34,的分布性质,由于 的分布性质决定了 的分布性质。 对 的一些假定可以等价地表示为对 的假定： 假定1：零均值假定 假定2：同方差假定 假定3：无自相关假定 假定5：正态性假定,35,OLS的基本思想 不同的估计方法可得到不同的样本回归参数 和 ，所估计的 也不同。 理想的估计方法应使 与 的差即剩余 越小越好 因 可正可负，所以可以取 最小 即,二、普通最小二乘法 （rdinary Least Squares ）,36,正规方程和估计式,用克莱姆法则求解得观测值形式的OLS估计式：,取偏导数为0，得正规方程,37,为表达得更简洁，或者用离差形式OLS估计式： 注意其中： 而且样本回归函数可写为,用离差表现的OLS估计式,38,三、OLS回归线的性质,可以证明： 回归线通过样本均值 估计值 的均值等于实 际观测值 的均值,39,剩余项 的均值为零 应变量估计值 与剩余项 不相关,解释变量 与剩余项 不相关,40,四、参数估计式的统计性质,(一)参数估计式的评价标准 1. 无偏性 前提：重复抽样中估计方法固定、样本数不变、经 重复抽样的观测值，可得一系列参数估计值 参数估计值 的分布称为 的抽样分布，密度函 数记为 如果 ，称 是参数 的无偏估计式，否 则称 是有偏的，其偏倚为 （见图1.2）,41,图 1 . 2,42,前提：样本相同、用不同的方法估计参数， 可以找到若干个不同的估计式 目标：努力寻求其抽样分布具有最小方差的 估计式 最小方差准则，或称最佳 性准则（见图1.3） 既是无偏的同时又具有最小方差的估计式，称为 最佳无偏估计式。,2. 最小方差性,43,44,4. 渐近性质（大样本性质）,思想:当样本容量较小时，有时很难找到最佳无偏估计，需要考虑样本扩大后的性质 一致性： 当样本容量 n 趋于无穷大时，如果估计式 依概率收敛于总体参数的真实值，就称这个估计式 是 的一致估计式。即 或 渐近有效性：当样本容量 n 趋于无穷大时，在所有的一致估计式中，具有最小的渐近方差。 (见图1.4),45,46,（二） OLS估计式的统计性质, 由OLS估计式可以看出 由可观测的样本值 和 唯一表示。 因存在抽样波动，OLS估计 是随机变量 OLS估计式是点估计式,47,1. 线性特征 是 的线性函数,2. 无偏特性 （证明见教材P37） 3. 最小方差特性 （证明见教材P68附录2·1） 在所有的线性无偏估计中，OLS估计 具有最小方差 结论：在古典假定条件下,OLS估计式是最佳线性无 偏估计式（BLUE）,OLS估计式的统计性质高斯定理,48,第三节 拟合优度的度量,本节基本内容: 什么是拟合优度 总变差的分解 可决系数,49,一、什么是拟合优度?,概念： 样本回归线是对样本数据 的一种拟合，不同估计方 法可拟合出不同的回归线， 拟合的回归线与样本观测 值总有偏离。 样本回归线对样本观测数据拟合的优劣程度 拟合优度 拟合优度的度量建立在对总变差分解的基础上,50,二、总变差的分解,分析Y 的观测值、估计值与平均值的关系 将上式两边平方加总，可证得 （TSS） （ESS） （RSS）,51,总变差 （TSS）：应变量Y的观测值与其平均值的离差平方和（总平方和） 解释了的变差 （ESS）：应变量Y的估计值与其平均值的离差平方和（回归平方和） 剩余平方和 （RSS）：应变量观测值与估计值之差的平方和（未解释的平方和）,52,变差分解的图示,53,三、可决系数,以TSS同除总变差等式两边： 或 定义：回归平方和（解释了的变差ESS） 在总变 差（TSS） 中所占的比重称为可决系数，用 表示: 或,54,作用：可决系数越大，说明在总变差中由模型作出了解释的部分占的比重越大，模型拟合优度越好。反之可决系数小，说明模型对样本观测值的拟合程度越差。 特点：可决系数取值范围： 随抽样波动，样本可决系数 是随抽样 而变动的随机变量 可决系数是非负的统计,可决系数的作用和特点,55,可决系数与相关系数的关系,（1）联系 数值上，可决系数等于应变量与解释变量之间简单相关系数的平方:,56,可决系数与相关系数的关系,（2）区别,57,运用可决系数时应注意, 可决系数只是说明列入模型的所有解释变量对 因变量的联合的影响程度，不说明模型中每个 解释变量的影响程度（在多元中） 回归的主要目的如果是经济结构分析，不能只 追求高的可决系数，而是要得到总体回归系数 可信的估计量，可决系数高并不表示每个回归 系数都可信任 如果建模的目的只是为了预测因变量值，不是 为了正确估计回归系数，一般可考虑有较高的 可决系数,58,第四节 回归系数的区间估计和假设检验,本节基本内容： OLS估计的分布性质 回归系数的区间估计 回归系数的假设检验,59,问题的提出,为什么要作区间估计？ OLS估计只是通过样本得到的点估计，不一定等于 真实参数，还需要找到真实参数的可能范围，并 说明其可靠性 为什么要作假设检验？ OLS 估计只是用样本估计的结果，是否可靠？ 是否抽样的偶然结果？还有待统计检验。 区间估计和假设检验都是建立在确定参数估计值 概率分布性质的基础上。,60,一、OLS估计的分布性质,基本思想 是随机变量，必须确定其分布性质才可能进行区间估计和假设检验 是服从正态分布的随机变量, 决定了 也是服从正态分布的随机变量， 是 的线性函数，决定了 也是服从正态分布的随机变量，只要确定 的期望和方差，即可确定 的分布性质,61, 的期望： (无偏估计）