2009年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷ⅰ）（含解析版）

2009年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）sin585°的值为（）ABCD2（5分）设集合A=4，5，7，9，B=3，4，7，8，9，全集U=AB，则集合U（AB）中的元素共有（）A3个B4个C5个D6个3（5分）不等式1的解集为（）Ax|0x1x|x1Bx|0x1Cx|1x0Dx|x04（5分）已知tana=4，cot=，则tan（a+）=（）ABCD5（5分）已知双曲线=1（a0，b0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）AB2CD6（5分）已知函数f（x）的反函数为g（x）=1+2lgx（x0），则f（1）+g（1）=（）A0B1C2D47（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A150种B180种C300种D345种8（5分）设非零向量、满足，则=（）A150°B120°C60°D30°9（5分）已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）ABCD10（5分）如果函数y=3cos（2x+）的图象关于点（，0）中心对称，那么|的最小值为（）ABCD11（5分）已知二面角l为60°，动点P、Q分别在面、内，P到的距离为，Q到的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）A1B2CD412（5分）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点Al，线段AF交C于点B，若=3，则|=（）AB2CD3二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）（xy）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于 14（5分）设等差数列an的前n的和为Sn，若S9=72，则a2+a4+a9= 15（5分）已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M若圆M的面积为3，则球O的表面积等于 16（5分）若直线m被两平行线l1：xy+1=0与l2：xy+3=0所截得的线段的长为，则m的倾斜角可以是15°30°45°60°75°其中正确答案的序号是 （写出所有正确答案的序号）三、解答题（共6小题，满分70分）17（10分）设等差数列an的前n项和为Sn，公比是正数的等比数列bn的前n项和为Tn，已知a1=1，b1=3，a3+b3=17，T3S3=12，求an，bn的通项公式18（12分）在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b19（12分）如图，四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，SD底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（）求二面角SAMB的大小20（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立已知前2局中，甲、乙各胜1局（）求再赛2局结束这次比赛的概率；（）求甲获得这次比赛胜利的概率21（12分）已知函数f（x）=x43x2+6（）讨论f（x）的单调性；（）设点P在曲线y=f（x）上，若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点，求l的方程22（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x4）2+y2=r2（r0）相交于A、B、C、D四个点（）求r的取值范围；（）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标2009年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）sin585°的值为（）ABCD【考点】GE：诱导公式菁优网版权所有【分析】由sin（+2k）=sin、sin（+）=sin及特殊角三角函数值解之【解答】解：sin585°=sin（585°360°）=sin225°=sin（45°+180°）=sin45°=，故选：A【点评】本题考查诱导公式及特殊角三角函数值2（5分）设集合A=4，5，7，9，B=3，4，7，8，9，全集U=AB，则集合U（AB）中的元素共有（）A3个B4个C5个D6个【考点】1H：交、并、补集的混合运算菁优网版权所有【分析】根据交集含义取A、B的公共元素写出AB，再根据补集的含义求解【解答】解：AB=3，4，5，7，8，9，AB=4，7，9U（AB）=3，5，8故选A也可用摩根律：U（AB）=（UA）（UB）故选：A【点评】本题考查集合的基本运算，较简单3（5分）不等式1的解集为（）Ax|0x1x|x1Bx|0x1Cx|1x0Dx|x0【考点】7E：其他不等式的解法菁优网版权所有【分析】本题为绝对值不等式，去绝对值是关键，可利用绝对值意义去绝对值，也可两边平方去绝对值【解答】解：1，|x+1|x1|，x2+2x+1x22x+1x0不等式的解集为x|x0故选：D【点评】本题主要考查解绝对值不等式，属基本题解绝对值不等式的关键是去绝对值，去绝对值的方法主要有：利用绝对值的意义、讨论和平方4（5分）已知tana=4，cot=，则tan（a+）=（）ABCD【考点】GP：两角和与差的三角函数菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】由已知中cot=，由同角三角函数的基本关系公式，我们求出角的正切值，然后代入两角和的正切公式，即可得到答案【解答】解：tana=4，cot=，tan=3tan（a+）=故选：B【点评】本题考查的知识点是两角和与差的正切函数，其中根据已知中角的余切值，根据同角三角函数的基本关系公式，求出角的正切值是解答本题的关键5（5分）已知双曲线=1（a0，b0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）AB2CD【考点】KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a和b的关系，从而推断出a和c的关系，答案可得【解答】解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得ax2bx+a=0，因渐近线与抛物线相切，所以b24a2=0，即，故选：C【点评】本小题考查双曲线的渐近线方程直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题6（5分）已知函数f（x）的反函数为g（x）=1+2lgx（x0），则f（1）+g（1）=（）A0B1C2D4【考点】4R：反函数菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】将x=1代入即可求得g（1），欲求f（1），只须求当g（x）=1时x的值即可从而解决问题【解答】解：由题令1+2lgx=1得x=1，即f（1）=1，又g（1）=1，所以f（1）+g（1）=2，故选：C【点评】本小题考查反函数，题目虽然简单，却考查了对基础知识的灵活掌握情况，也考查了运用知识的能力7（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A150种B180种C300种D345种【考点】D1：分类加法计数原理；D2：分步乘法计数原理菁优网版权所有【专题】5O：排列组合【分析】选出的4人中恰有1名女同学的不同选法，1名女同学来自甲组和乙组两类型【解答】解：分两类（1）甲组中选出一名女生有C51C31C62=225种选法；（2）乙组中选出一名女生有C52C61C21=120种选法故共有345种选法故选：D【点评】分类加法计数原理和分类乘法计数原理，最关键做到不重不漏，先分类，后分步！8（5分）设非零向量、满足，则=（）A150°B120°C60°D30°【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角菁优网版权所有【分析】根据向量加法的平行四边形法则，两个向量的模长相等可构成菱形的两条相邻边，三个向量起点处的对角线长等于菱形的边长，这样得到一个含有特殊角的菱形【解答】解：由向量加法的平行四边形法则，两个向量的模长相等、可构成菱形的两条相邻边，、为起点处的对角线长等于菱形的边长，两个向量的夹角是120°，故选：B【点评】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础题向量知识，向量观点在数学物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体9（5分）已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）ABCD【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系菁优网版权所有【分析】首先找到异面直线AB与CC1所成的角（如A1AB）；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出A1B的长度即可；不妨设三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求之【解答】解：设BC的中点为D，连接A1D、AD、A1B，易知=A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角；并设三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长为1，则|AD|=，|A1D|=，|A1B|=，由余弦定理，得cos=故选：D【点评】本题主要考查异面直线的夹角与余弦定理10（5分）如果函数y=3cos（2x+）的图象关于点（，0）中心对称，那么|的最小值为（）ABCD【考点】HB：余弦函数的对称性菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】先根据函数y=3cos（2x+）的图象关于点中心对称，令x=代入函数使其等于0，求出的值，进而可得|的最小值【解答】解：函数y=3cos（2x+）的图象关于点中心对称由此易得故选：A