2015年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅰ）（含解析版）

2015年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合A=x|x=3n+2，nN，B=6，8，10，12，14，则集合AB中元素的个数为（）A5B4C3D22（5分）已知点A（0，1），B（3，2），向量=（4，3），则向量=（）A（7，4）B（7，4）C（1，4）D（1，4）3（5分）已知复数z满足（z1）i=1+i，则z=（）A2iB2+iC2iD2+i4（5分）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）ABCD5（5分）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=（）A3B6C9D126（5分）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A14斛B22斛C36斛D66斛7（5分）已知an是公差为1的等差数列，Sn为an的前n项和，若S8=4S4，则a10=（）ABC10D128（5分）函数f（x）=cos（x+）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（） A（k，k+），kzB（2k，2k+），kzC（k，k+），kzD（，2k+），kz9（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）A5B6C7D810（5分）已知函数f（x）=，且f（a）=3，则f（6a）=（）ABCD11（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为16+20，则r=（）A1B2C4D812（5分）设函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=x对称，且f（2）+f（4）=1，则a=（）A1B1C2D4二、本大题共4小题，每小题5分.13（5分）在数列an中，a1=2，an+1=2an，Sn为an的前n项和，若Sn=126，则n= 14（5分）已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1）处的切线过点（2，7），则a= 15（5分）若x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为 16（5分）已知F是双曲线C：x2=1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，6）当APF周长最小时，该三角形的面积为 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（12分）已知a，b，c分别是ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC（）若a=b，求cosB；（）设B=90°，且a=，求ABC的面积18（12分）如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE平面ABCD（）证明：平面AEC平面BED；（）若ABC=120°，AEEC，三棱锥EACD的体积为，求该三棱锥的侧面积19（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i=1，2，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值（xi）2（wi）2（xi）（yi）（wi）（yi）46.65636.8289.81.61469108.8表中wi=i，=（）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（）根据（）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2yx根据（）的结果回答下列问题：（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）.（un vn），其回归线v=+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=20（12分）已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x2）2+（y3）2=1交于点M、N两点（1）求k的取值范围；（2）若=12，其中O为坐标原点，求|MN|21（12分）设函数f（x）=e2xalnx（）讨论f（x）的导函数f（x）零点的个数；（）证明：当a0时，f（x）2a+aln四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分【选修4-1：几何证明选讲】22（10分）如图，AB是O的直径，AC是O的切线，BC交O于点E（）若D为AC的中点，证明：DE是O的切线；（）若OA=CE，求ACB的大小五、【选修4-4：坐标系与参数方程】23在直角坐标系xOy中，直线C1：x=2，圆C2：（x1）2+（y2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（）求C1，C2的极坐标方程；（）若直线C3的极坐标方程为=（R），设C2与C3的交点为M，N，求C2MN的面积六、【选修4-5：不等式选讲】24已知函数f（x）=|x+1|2|xa|，a0（）当a=1时，求不等式f（x）1的解集；（）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围2015年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合A=x|x=3n+2，nN，B=6，8，10，12，14，则集合AB中元素的个数为（）A5B4C3D2【考点】1E：交集及其运算菁优网版权所有【专题】5J：集合【分析】根据集合的基本运算进行求解【解答】解：A=x|x=3n+2，nN=2，5，8，11，14，17，则AB=8，14，故集合AB中元素的个数为2个，故选：D【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础2（5分）已知点A（0，1），B（3，2），向量=（4，3），则向量=（）A（7，4）B（7，4）C（1，4）D（1，4）【考点】9J：平面向量的坐标运算菁优网版权所有【专题】5A：平面向量及应用【分析】顺序求出有向线段，然后由=求之【解答】解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到=（3，1），向量=（4，3），则向量=（7，4）；故选：A【点评】本题考查了有向线段的坐标表示以及向量的三角形法则的运用；注意有向线段的坐标与两个端点的关系，顺序不可颠倒3（5分）已知复数z满足（z1）i=1+i，则z=（）A2iB2+iC2iD2+i【考点】A5：复数的运算菁优网版权所有【专题】5N：数系的扩充和复数【分析】由已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求得z1，进一步求得z【解答】解：由（z1）i=1+i，得z1=，z=2i故选：C【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题4（5分）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）ABCD【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率菁优网版权所有【专题】5I：概率与统计【分析】一一列举出所有的基本事件，再找到勾股数，根据概率公式计算即可【解答】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5）（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种，其中只有（3，4，5）为勾股数，故这3个数构成一组勾股数的概率为故选：C【点评】本题考查了古典概型概率的问题，关键是不重不漏的列举出所有的基本事件，属于基础题5（5分）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=（）A3B6C9D12【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合；KI：圆锥曲线的综合菁优网版权所有【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用椭圆的离心率以及抛物线的焦点坐标，求出椭圆的半长轴，然后求解抛物线的准线方程，求出A，B坐标，即可求解所求结果【解答】解：椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点（c，0）与抛物线C：y2=8x的焦点（2，0）重合，可得c=2，a=4，b2=12，椭圆的标准方程为：，抛物线的准线方程为：x=2，由，解得y=±3，所以A（2，3），B（2，3）|AB|=6故选：B【点评】本题考查抛物线以及椭圆的简单性质的应用，考查计算能力6（5分）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A14斛B22斛C36斛D66斛【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有【专题】5F：空间位置关系与距离【分析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则r=8，解得r=，故米堆的体积为×××（）2×5，1斛米的体积约为1.62立方，÷1.6222，故选：B【点评】本题主要考查椎体的体积的计算，比较基础7（5分）已知an是公差为1的等差数列，Sn为an的前n项和，若S8=4S4，则a10=（）ABC10D12【考点】83：等差数列的性质菁优网版权所有【专题】11：计算题；4O：定义法；