3三角函数-冲刺985优等生拔高系列讲义—专治各种学霸不服

冲刺“985”优等生拔高讲义（教师版）专治学霸各种不服三角函数板块目录问题一 应用三角公式化简求值的技巧问题1问题二：应用三角函数的性质求解参数问题17问题三：三角形中的不等问题34问题四 与向量、数列相结合的三角形问题54问题五：利用正、余弦定理解决实际问题74问题一 应用三角公式化简求值的技巧问题三角函数在高考中通常以中低档题型出现,难度不大,但由于三角公式的特殊性,解题中往往也涉及一些小的变换技巧,如果处理得当,往往可以事半功倍,快速而准确地得到正确结论.通常情况下,三角变换应从“角度、函数、常数、次数、结构”等几方面着手解决.一、三角变换,角为先锋三角函数作为一种特殊函数,其“角”的特殊性不容忽视,因此我们在三角函数恒等变换中,应该首先注意角的形式,从统一角的角度出发,往往能够达到事半功倍的效果.【例1】已知、为锐角,cos,tan(),则tan()A、 B、3 C、 D、【分析】依题意,可求得tan,而已知两角、与所求角之间存在()的关系,故再利用两角差的正切即可求得tan的值【点评】本题容易想到先求出tan,然后代入tan()的展开式中求tan,相比之下,不如利用角的变换更简洁一些.常见的配角技巧有：2·,(),(),()(),等【例2】【2016学年吉林省长春十一中期中】已知,则_来源:学_科_网【分析】注意到,可通过调整角的差异进行求值.点评：当已知角有两个时,一般把所求角表示为两个已知角的和或差的形式；当已知角有一个时,此时应着眼于所求角与已知角的和或差的形式,然后应用诱导公式把所求角变成已知角,常见的互余关系有与；与,常见的互补关系有与,与【变式演练】已知sin,则sin 2x的值为()A B. C. D.【解析】法一、sin 2xcos(2x)12sin2(x)12×()2,选B.法二、依题意得(sin xcos x),(sin xcos x)2,1sin 2x,sin 2x,选B.二、函数变换,乃是重点三角函数作为一类特殊的函数,其六种三角函数(当今教材要求重点掌握正弦函数、余弦函数、正切函数)之间有着密切的联系,因此,充分注意函数之间的关系,是三角函数变形的另一个重点.【例3】【2015·四川省新都一中9月测试】已知,则的值为( )A18 B C16 D【分析】已知条件是的正切值,要求正余弦的分式表达式的值,应从转化函数名称着手,将正余弦化为正切函数的表达式即可.【解析】试题分析：,选D【答案】D【点评】本题实为齐次式的基本模型,已知条件是正切值,或者可化为正切值的相关形式,如sin4cos,cot等,所求为正余弦的齐次关系式,可以使用这种此类变换.【变式演练】设且则( )A. B.C. D.【解析】由,又,故,即.【答案】C三、常数化角,曲径通幽三角公式中有不少常数,如1、等,在三角变换中,若能巧妙利用它们与三角函数式或函数值之间的关系进行转换,往往可以起到意想不到的效果.【例4】【2015学科网特训】已知5,则sin2sincos的值是()A B C2 D2【分析】本题与例3很类似,但所求表达式为整式,于是考虑利用1sin2cos2,将分母变换为二次式,满足齐次式的格式后求解.【解析】由5,得5,即tan2所以sin2sincos【答案】A【点评】常数的变换在化一公式中最常见,其他地方的常数变换相对更隐蔽,要细心观察表达式的特征,从中寻找蛛丝马迹.【变式演练】【2016届山东师大附中高三上学期二模】若,且（ ）A B C D【答案】B【解析】,所以四、降幂化一,热点不断三角公式中,一次关系式较多,特别是同角关系式,以及化一公式等等,因此在观察函数关系式时,注意其次数的特征,将高次化为一次,也是解决问题的重要途径.【例5】【2016届辽宁省葫芦岛市一中高三上学期期中】已知函数（1）求函数的最小正周期和最大值；（2）求函数单调递增区间 【分析】三角函数问题,一般利用两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式化为一个角的一个三角函数,然后利用正弦函数（或余弦函数）的性质得出结论【解析】（1）函数的最小正周期为 ,函数的最大值为（2）由 得 函数的单调递增区间为【点评】降幂、化一公式,是当今考查三角函数的热点,考生应熟记相关公式,规范书写,避免过失性丢分.【误区警示】三角函数很多性质都与周期有关,其中的kZ一定不能忘记,也不能写成kR、kN等.【变式演练】已知函数f(x)2cos2xsin2x1(xR)(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的单调递增区间；(3)若x,求f(x)的值域五、和差倍分,注意结构三角变换中,函数表达式结构上的变换也要充分注意,结构式的差异往往隐藏着对条件和结论的联系.【例6】【2015·广东惠州一摸】已知. (1)求的值； (2)求的值【分析】先化简表达式,利用商数关系得到,再利用倍角公式展开,将代入到化简的式子中计算即可；第二问,利用第一问的结论,将所求表达式化简,利用倍角公式、两角和的余弦公式,化简表达式,再利用齐次式化成关于的式子,将第一问的结论代入得到所求式子的值.【点评】本题需要从多角度分析,一是角的倍分关系,二是函数的同角变换,最后再利用和差角、齐次式等思想方法,方能正确求解.【变式演练】【2016届福建省师大附中高三上学期期中】已知,则的值为（ ）A B C D【答案】C【解析】,故选C六、公式变用,柳暗花明三角函数有众多的公式,我们不仅要会使用公式,还要会使用其变形的等价形式.如cos,tan±tantan()(1tantan)等.【例7】的值为( )A. B. C. D.【分析】本题是非特殊角求值问题,首先应从10°50°60°入手,然后注意表达式特征,其中的tan10°tan50°和tan10°tan50°在正切的和角公式中也有显现,故考虑正切和角公式的变形.【解析】由变形,故【答案】B.【点评】三角公式是恒等式(当等式两边都有意义时),所以,我们不仅要记住公式的原型,还要会逆用公式,或者变形使用,这需要考生对公式各部分的结构特征都要十分熟悉,才能对公式的变形使用驾轻就熟.总体来说,在三角函数的变换中,各种变换都是穿插进行的,许多时候需要多方位思考,不能拘泥于某一种思维方式,这样才有利于打开思维的空间,找到更加合适的解题方法【变式演练】【2016届河北省衡水冀州中学高三上第二次月考】的值是 （ ）A B C2 D【答案】C来源:学&科&网【解析】根据题意有原式,故选C巩固练习1【2016届河北省正定中学高三上学期期中】已知,则的值是A B C D【答案】D【解析】 因为,所以,即,所以,即,所以,所以应选2【2016届福建省师大附中高三上学期期中】若,则的值为（ ）A B C D【答案】C【解析】因为,所以,故选C3【2016届山东省实验中学高三第二次诊断性考试】已知,则的值为A B C D【答案】B4【2016届黑龙江省双鸭山一中高三上学期期中】已知,则的值为（ ）A B C D【答案】C【解析】由题意得：,选C5 【2015学年湖北武汉一中等重点中学期中】已知,那么等于（ ）A B C D【答案】C【解析】6.已知cos ,cos( ),且、,则cos()的值等于()A B.C D.【答案】D【解析】,2(0,)cos ,cos 22cos21,sin 2,而,(0,)sin(),cos()cos2()cos 2cos()sin 2sin()××.来源:学。科。网Z。X。X。K7.已知,则来源:学*科*网A. B. C. D.【答案】C【解析】由于,因此,.8.已知,则( )A B C D【答案】B【解析】由已知可知,又,所以,9.4cos 50°tan 40°()A. B. C. D21【答案】C10.【2015学科网特训】在ABC中,若tanAtanBtanAtanB1,则cosC的值是()A B C D来源:Z§xx§k.Com【答案】B【解析】由tanA·tanBtanAtanB1,可得1,即tan(AB)1,AB(0,),AB,则C,cosC11.【2015·学科网特训】已知,(0,),且tan(),tan,求2的值【解析】tantan()0,0又tan20,02,tan(2)1tan0,20,212【2016届黑龙江省牡丹江市一中高三上学期期中】已知,则 【答案】【解析】13.【解析】因为所以所以 故 14.【2015·学科网特训】已知函数f(x)cos2xsinxcosx (0)的最小正周期为(1)求值及f(x)的单调递增区间；(2)在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知a1,b,f(),求角C的大小【解析】解：(1)f(x)sin2xsin(2x)T,1,f(x)sin(2x),增区间为k,k(kZ)(2)f()sin(A),