曲边梯形面积的算法 分布计算法推导

曲边梯形的面积,问题提出,1.任何一个平面图形都有面积，其中矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形的面积，可以利用相关公式进行计算.,2.如果函数yf(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，则称函数f(x)为区间I上的连续函数.,3.如图所示的平面图形，是由直线 xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的，称之为曲边梯形，如何计算这个曲边梯形的面积是一个需要探讨的课题.,探究：曲边梯形面积的算法,思考1：由抛物线yx2与直线x1， y0所围成的平面图形是什么？它与我们熟悉的平面多边形的主要区别是什么？,直线x0，x1，y0和曲线yx2所围成的是曲边梯形.平面多边形的每条边都是直线段，上图中有一边是曲线段.,思考2：设想把该曲边梯形分作若干个小梯形，具体如何操作？,它们的面积分别为,则所求面积为,1、分割,思考3：上述n个矩形，从左到右各矩形的高分别为多少？宽为多少？,即第i个矩形的高为 ， 每个矩形的宽为 .,思考4：计算，这n个小矩形的面积之和Sn等于多少？,3、求和,思考4：计算，这n个小矩形的面积之和Sn等于多少？,思考5：如何利用各小矩形的面积之和求曲边梯形的面积S？所得的结果是什么？,4、取极限,思考6：上述用极限逼近思想求曲边梯形面积的过程有哪几个基本步骤?,分割近似代替求和取极限.,思考7：若按如图所示作小矩形，那么这些小矩形的面积之和的极限等于曲边梯形的面积吗？,思考8：若分别以区间 内任意一点对应的函数值为高作矩形，那么这些小矩形的面积之和的极限等于曲边梯形的面积吗？,相等,p42练习,例1、求y=2x-x2，y=0,0x2围成的图形的面积.,解：(1)分割 在区间0，2上等间隔地插入n-1个 点，将区间0，2等分成n个小区间：,记第i个区间为 其长度为,例1、求y=2x-x2，y=0,0x2围成的图形的面积.,当n很大，即x很小时，在区间 上，用小矩形的面积Si近似地代替Si，即在局部范围内“以直代取”，则有SiSi,(2)近似代替,(3)求和,(4)取极限,例1、求y=2x-x2，y=0,0x2围成的图形的面积.,例2、如图所示的图形为一隧道的截面，其中四边形ABCD是矩形，CDE是抛物线的一段.在工程的设计中，要计算开凿隧道挖出的土石方量，需要计算这个截面的面积.试根据图中所给的数据计算这个截面的面积.,解：如图建立平面直角坐标系，可得抛物线的方程为,x,y,先求曲边三角形CEO的面积.,第一步：分割,分点把区间0,4分成n个小区间，过各个分点作x轴的垂线，把整个图形分成n个小曲边梯形，它们的面积记为S1, S2Sn.,把区间0,4n等分，各分点的坐标依次为,第二步：近似代替. 取每个小区间右端点对应的函数值 为小矩形的高，宽为 可得Sif(xi)·xi. 第三步：求和. 求出这n个小矩形的面积的和,第四步：取极限,设CEO的面积为S，则,小结作业,2.求曲边梯形的面积的基本思路是：把曲边梯形分割成n个小曲边梯形用小矩形近似替代小曲边梯形求各小矩形的面积之和求各小矩形面积之和的极限.,1.用极限逼近原理求曲边梯形的面积，是一种“以直代曲”的思想，它体现了对立统一，量变与质变的辨证关系.,3. 上述求曲边梯形面积的方法有一定的局限性，如果用一般方法不能求出各小矩形的面积之和，则得不到曲边梯形的面积.,作业、 1、 求直线x0，x3，y0与曲线 yx22x3所围成的曲边梯形的面积. 2、课时练,