常点邻域上的级数解法-重点讲义及例题推导讲解

§9.2 常点邻域上的级数解法 一、线性二阶常微分方程 特殊函数方程大多为二阶线性常微分方程， 一般形式(实数域)为： 更一般的形式为(推广至复数域) 其中z为复变数，z0为选定的点，c0和c1为任给的,复常数，且w(z)为未知函数，p(z)和q(z)为已知复变函数，称为方程的系数。 上述方程一般不能用通常方法解出，但可用级数解法。 即在任选某点的邻域上将待求的解表示为级数形式，代入方程再确定系数。 方程的解的性质完全由系数p(z)和q(z)的解析性决定： 若p(z)和q(z)都在z0及其某邻域内解析，则称z0为方程的常点； 否则称z0为方程的奇点。,二、常点邻域内的级数解 1. 微分方程解析理论的基本定理： 若p(z)和q(z)在圆|z-z0|R内单值解析，则方程 在圆内存在唯一的解w(z) ，且满足初值条件 ， ，且w(z)在圆域内单值解析。 2. 解的形式： 由上述定理，在|z-z0|R内w(z)可写成泰勒级数 将代入可确定系数ak(用c0和c1表示)，这种方法称为级数解法。,三、勒让德方程 自然边界条件 例：x0=0的邻域上求解l阶勒让德方程 解：方程可写成 则 显然x0=0是方程的常点，可设解为,代入方程，由下表合并相同幂次项的系数：,每列系数之和必为零，得递推公式 ,得到l 阶勒让德方程解： (两个级数之和) y0(x)只含偶次幂，为偶函数， y1(x)只含奇次幂，为奇函数， a0、a1为任意常数，可由初始条件确定 , 判断级数解的收敛性: 由递推公式可得收敛半径： 所以， y0(x)、y1(x)收敛于|x|1,说明： (1)|x|=|cos|1，不存在x1的情况； (2)x=±1，对应=0，=，对应极轴的正负方 向，而y0(x)、y1(x)在x=±1均发散(见P397)。 (3)可以证明l阶勒让德方程不存在形如 且在x=±1均有限的无穷级数解(P193)； (4)自然边界条件构成的本征值问题 实际问题中要求解在一切方向保持有限，即在 x-1，1或0，上有限 物理问题要求解在x=±1保持有限，而y0(x)、 y1(x)不满足该要求。,由及可见： a. l=2n(n是正整数)时，y0(x)退化为多项式，有限。可取a1=0保证解y(x)有限； b. l=2n+1(n是零或正整数)时，y1(x)退化为多项式，有限。可取a0=0保证解y(x)有限； 因此，要满足上述边界条件，即x=±1保持有限，必须满足：本征值是l(l+1)(l为零或正整数)，相应的本征函数是l阶勒让德多项式。 通常把“解在x=±1保持有限”说成是勒让德方程的自然边界条件。,勒让德方程 本征值问题 解在x=±1保持有限 (自然边界条件) 本征值是l(l+1),(l为零或正整数)， 相应的本征函数是l阶勒让德多项式。 习题：(P194.2) 在x0=0的邻域上求解y“-xy=0 解： p(x)=0，q(x)=-x ，x0=0是常点。设,代入方程，比较系数得 由上式 (1) a2=a-1=0，(a-1=0) a5=0，.， a3k+2=0， (2),(3) 故 由递推公式得：,例(P195.3): 在x0=0的邻域上求解埃尔米特(厄密)方程y“-2xy'+(-1)y=0，(量子力学谐振子问题中出现)取什么数值可使级数解退化为多项式？这些多项式乘以适当的常数使最高幂项成为 (2x)n形式，叫做厄密多项式，记为Hn(x)，写出前几个Hn(x)。 解： x0=0是方程的常点，设,则： 代入方程，得 推导得 ，其中,且 当=4k-3(k=1，2.)时，y0(x)退化成多项式； 当=4k-1(k=1，2.)时，y1(x)退化成多项式； 取k=1有 =4k-3=1， y0(x)=1， 记为H0(x)=(2x)0=1,=4k-1=3 ，y1(x)=x， 记为H1(x)=2y1(x)=(2x)1=2x 取k=2有 =4k-3=5，y0(x)=1-2x， 记为H2(x)=-2y0(x)=(2x)2-2 =4k-1=7 ，y1(x)=x-2x3/3， 记为H3(x)= -(22)3y1(x)=(2x)3-12x 参阅教材P409。,