初三数学有关直角三角形和三角函数的周知识概述

一、一周知识概述1、解直角三角形常用方法：（1）勾股定理：c2=a2b2（2）三个锐角三角函数：（3）三个三角函数之间的关系：互余关系sinA=cos(90°A)、cosA=sin(90°A)平方关系：商数关系：2、注意两个转化（1）把实际问题转化为数学问题：将实际问题图形转化为平面几何图形，依题意，画出图形.（2）若三角形不是直角三角形，应添加适当的辅助线，将原图形分割成几个直角三角形，找出边、角之间关系，求出所需要的量.3、特殊角0°，30°，45°，60°，90°的三角函数值要在理解基础上记住.0°30°45°60°90° sin01 cos10 tan01不存在4、三个三角函数值随角的增加，函数值的变化特征：当0°90°时，正弦与正切的函数值随角的增大而增大，但tan90°的值不存在，而余弦的函数值是随角的增大而减小.5、理解仰角、俯角、坡角、坡度等概念有时为了测出江河、水库、筑路等的坡面AB与地面BC的倾斜程度，有时用坡角的大小来反映。当（0°90°）较大时，则倾斜程度就较徒，有时把坡面AB的铅垂高度h和水平宽度的比叫做坡度，用字母i表示.二、重难点知识概述1、重点（1）锐角的sin,cos,tan的特殊角及对应的特殊值.（2）0°、90°的特殊情况：sin0°=0，cos0°=1，tan0°=0，sin90°=1，cos90°=0，tan90°不存在. （3）已知锐角，则可求出sin,cos,tan的值，当是0°90°中一般角时，可用科学计算器求出，反过来，若已知某三角函数值时，也可求出0°90°间的角.（4）利用直角三角形中的边角关系，解决实际问题.2、难点将一般三角形中所要求的值，转化为直角形求其值，即辅助线要恰当地作出。一般来说，辅助线不要破坏所给的特殊角.一、周知识概述1、从实际问题出发梯子靠在墙上，有的较陡，有的较缓，用什么值反映出来？通过学习发现：把这一问题 转化为在直角三角形中，某锐角的对边与邻边的比.所以规定显然，梯子的倾斜程度与tanA的值的大小有关，当0°<A°<90°，若A逐渐增大，则tanA的值逐渐增大 ，梯子越陡.2、相应地规定正弦：3、关于30°，45°，60°的正弦，余弦、正切值，可由直角三角形来确定，与直角三角形大小无关，而与两锐 角大小有关. 当A=30°时当A=45°时当A=60°时 将它们的特殊值列表如下：三角函数角的度数sincostan30°45°160°4、为方便学习，应了解一下在直角三角形中，把A的邻边与A的对边之比起名为余切，即 5、在RtABC中，由锐角A（0°<A<90°）的特点，可得到0<sinA<1, 0<cosA<1，由定义： 可得出即sin2Acos2A=1.6、除特殊角30°，45°，60°的三角函数值外，还有0°，90°的极端情况规定： （b0），而sin90°=1, cos90°=0, tan90°不存在.二、本周重难点1、重点：特殊角30°，45°，60°的正弦值，余弦值及正切值，且能根据特殊角的三角函数值，仅求锐角的大 小.2、难点：如何将一般三角形，通过作辅助线转化为直角三角形去解决某些问题.三、重难点知识讲解例1、若关于x的一元二次方程x2axb=0的两根是一直角三角形两锐角的正弦值，且a5b=1，求a,b的值.分析：此题要用到两个方面的知识.一是一元二次方程根与系数的关系，二是利用在Rt中，当C=90°时，有AB=90°，B=90°A，则sinB=sin(90°A)=cosA的关系，建立a,b的方程组求解.解：设直角三角形ABC中，C=90°，依题意：sinAsinB=a（1），sinA·sinB=b，又AB=90°，B=90°AsinB=sin(90°A)=cosA则将（1），（2）式化为：sinAcosA=a （3）sinA·cosA=b（4）(3)2（4）×2，得sin2Acos2A+2 sinA·cosA2 sinA·cosA= a22b，由sin2Acos2A=1 ，a22b=1 （5），又由条件可知a5b=1 （6），解（5）（6）组成的方程组，消去a得综上所得例2、为了农田灌溉的需要，某乡利用土堤修筑一条渠道，在堤中间挖出一个深为1.2米，下底宽为2米，坡度为10.8的渠道（其横断面为等腰梯形）（如图），并把挖出来的土堆在两旁，使土堤的高度比原来增加0.6米.求（1）渠面宽EF的长；（2）若修300米长的渠道需挖的土方数是多少？解析：从图中可知，将原土堤横断面MNPQ中挖出一个等腰梯形ABCD，且将挖出的土方填在原土堤两边加高后，修成一个等腰梯形EBCF的渠道以便灌水，这中间要求AD、EF等量. 解：（1）如图过F作FGBC交BC的延长线于G，则：FG=0.61.2=1.8(米)（2）过D作DHCG交CG于H，则由且DH=1.2，例3、在RtABC中C=90°，AB=6，BC=2.求（1）sinA, cosA, tanA的值；（2）sinA与cosB是否相等？sinB与cosA是否相等？为什么，tanA与sinA，cosA又有什么关系，为什么？（3）sin2A与cos2A有什么关系？为什么？解：BC=2，AB=6，.（1）同理：（2）又B=90°A，即sinA=cos(90°A) sinB=cosA而A=90°BsinB=cos(90°B) （3）且sin2Acos2A=综上所述，除了掌握从0°90°间的特殊角的三角函数值外，还需了解它们之间的关系，可分为：（1）互余关系：sinA=cos(90°A)，cosA=sin(90°A)（2）平方关系：sin2Acos2A=1（3）商数关系：可作为公式使用. 例4、在RtABC中，C=90°，若求tanB的值.解析：此题有两种解法，一是定义法，二是用三角函数间的关系式.解法一：定义法：在RtABC中，C=90°，且设BC=3a，AB=5a，解法二：sinA=cos(90°A)=cosB，.又sin2Bcos2B=1，且sinB>0,