《余弦定理》教学设计-人教普通高中课程标准实验教科书

 余弦定理教学设计                                                一、   教学内容解析人教版普通高中课程标准实验教科书·必修（五）（第2版）第一章解三角形第一单元第二课余弦定理。余弦定理是继正弦定理教学之后又一关于三角形的边角关系准确量化的一个重要定理。通过利用向量的数量积方法推导余弦定理，正确理解其结构特征和表现形式，解决“边、角、边”和“边、边、边”问题，初步体会余弦定理解决“边、边、角”，体会方程思想，激发学生探究数学，应用数学的潜能,从而进一步运用它们解决一些与测量和几何计算有关的实际问题，使学生能更深地体会数学来源于生活，数学服务于生活。二、学生学习情况分析本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。在此基础上利用向量方法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。总体上学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度，在发掘出余弦定理的结构特征、表现形式的数学美时，能够激发学生热爱数学的思想感情；从具体问题中抽象出数学的本质，应用方程的思想去审视，解决问题是学生学习的一大难点。三、设计思想新课程的数学提倡学生动手实践，自主探索，合作交流，深刻地理解基本结论的本质，体验数学发现和创造的历程，力求对现实世界蕴涵的一些数学模式进行思考，作出判断；同时要求教师从知识的传授者向课堂的设计者、组织者、引导者、合作者转化，从课堂的执行者向实施者、探究开发者转化。本课尽力追求新课程要求，利用师生的互动合作，提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识和创新意识，深刻地体会数学思想方法及数学的应用，激发学生探究数学、应用数学知识的潜能。四、       教学目标解析1、使学生掌握余弦定理及推论，并会初步运用余弦定理及推论解三角形。2、通过对三角形边角关系的探究，能证明余弦定理，了解从三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途径证明余弦定理。3、在发现和证明余弦定理中，通过联想、类比、转化等思想方法比较证明余弦定理的不同方法，从而培养学生的发散思维。4、能用余弦定理解决生活中的实际问题，可以培养学生学习数学的兴趣，使学生进一步认识到数学是有用的。五、       教学问题诊断分析1、通过前一节正弦定理的学习，学生已能解决这样两类解三角形的问题：已知三角形的任意两个角与边，求其他两边和另一角；已知三角形的任意两个角与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边和角。而在已知三角形两边和它们的夹角，计算出另一边和另两个角的问题上，学生产生了认知冲突，这就迫切需要他们掌握三角形边角关系的另一种定量关系。所以，教学的重点应放在余弦定理的发现和证明上。2、在以往的教学中存在学生认知比较单一，对余弦定理的证明方法思考也比较单一，而本节的教学难点就在于余弦定理的证明。如何启发、引导学生经过联想、类比、转化多角度地对余弦定理进行证明，从而突破这一难点。3、学习了正弦定理和余弦定理，学生在解三角形中，如何适当地选择定理以达到更有效地解题，也是本节内容应该关注的问题，特别是求某一个角有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理时，教学中应注意让学生能理解两种方法的利弊之处，从而更有效地解题。六、       教学支持条件分析为了将学生从繁琐的计算中解脱出来，将精力放在对定理的证明和运用上，所以本节中复杂的计算借助计算器来完成。当使用计算器时，约定当计算器所得的三角函数值是准确数时用等号，当取其近似值时，相应的运算采用约等号。但一般的代数运算结果按通常的运算规则，是近似值时用约等号。七、       教学过程设计1、教学基本流程：从一道生活中的实际问题的解决引入问题，如何用已知的两条边及其所夹的角来表示第三条边。余弦定理的证明：启发学生从不同的角度得到余弦定理的证明，或引导学生自己探索获得定理的证明。应用余弦定理解斜三角形。2、教学情景：创设情境，提出问题问题1：现有卷尺和测角仪两种工具，请你设计合理的方案，来测量学校前生物岛边界上两点的最大距离（如图1所示，图中AB的长度）。【设计意图】：来源于生活中的问题能激发学生的学习兴趣，提高学习积极性。让学生进一步体会到数学来源于生活，数学服务于生活。师生活动：教师可以采取小组合作的形式，让学生设计方案尝试解决。学生1方案1：如果卷尺足够长的话，可以在岛对岸小路上取一点C（如图2），用卷尺量出AC和BC的长，用测角仪测出ACB的大小，那么ABC的大小就可以确定了。感觉似乎在ABC中已知AC、BC的长及夹角C的大小，可以求AB的长了。其他学生有异议，若卷尺没有足够长呢？学生2方案2：在岛对岸可以取C、D 两点（如图3），用卷尺量出CD的长，再用测角仪测出图中1、2、3、4的大小。在ACD中，已知ACD、ADC及CD，可以用正弦定理求AC，同理在BCD中，用正弦定理求出BC。那么在ABC中，已知AC、BC及ACB，似乎可以求AB的长了。教师：两种方案归根到底都是已知三角形两边及夹角，求第三边的问题。能否也象正弦定理那样，寻找它们之间的某种定量关系？【设计意图】给学生足够的空间和展示的平台，充分发挥学生的主体地位。求异探新，证明定理问题2：你能判断下列三角形的类型吗？1、以3，4，5为各边长的三角形是_三角形以2，3，4为各边长的三角形是_三角形以4，5，6为各边长的三角形是_三角形2、在ABC中a=8，b=5，c=60°，你能求c边长吗？【设计意图】：帮助学生分析相关内容，从多角度看待问题，用实践进行检验。师生活动：引导学生从特殊入手，用已有的初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题，从而寻找出这些量之间存在的某种定量关系。问题3：你能够有更好的具体的量化方法吗？帮助学生从平面几何、三角函数、向量知识、坐标法等方面进行分析讨论，选择简洁的处理工具，引发学生的积极讨论。【设计意图】：引导学生从相关知识入手，选择简洁的工具。学生3：在ABC中，如图4，过C作CDAB，垂足为D。在RtACD中，AD=bsin1,CD= bcos1;在RtBCD中，BD=asin2, CD=acos2; 学生4：如图5，过A作ADBC，垂足为D。学生5：如图5，AD = bsinC，CD = bcosC，c2 =（bsinC）2+（a- bcosC）2 = a2 +b2-2abcosC类似地可以证明b2 = a2 +c2-2accosB，c2 = a2 +b2-2abcosC。教师总结：以上的证明都是把斜三角形转化为两个直角三角形，化一般为特殊，再利用勾股定理来证明。并且进一步指出以上的证明还不严密，还要分C为钝角或直角时，同样都可以得出以上结论，这也正是本节课的重点余弦定理。【设计意图】：首先肯定学生成果，进一步的追问以上思路是否完整，可以使学生的思维更加严密。师生活动：得出了余弦定理，教师还应引导学生联想、类比、转化，思考是否还有其他方法证明余弦定理。教师：在前面学习正弦定理的证明过程种，我们用向量法比较简便地证明了正弦定理，那么在余弦定理的证明中，你会有什么想法？【设计意图】：通过类比、联想，让学生的思维水平得到进一步锻炼和提高，体验到成功的乐趣。学生6：如图6，教师：以上的证明避免了讨论C是锐角、钝角或直角，思路简洁明了，过程简单，体现了向量工具的作用。又向量可以用坐标表示，AB长度又可以联系到平面内两点间的距离公式，你会有什么启发？【设计意图】：由向量又联想到坐标，引导学生从直角坐标中用解析法证明定理。学生7：如图7，建立直角坐标系，在ABC中，AC = b，BC = a .且A（b，0），B（acosC，asinC），C（0，0），【设计意图】：通过以上平面几何知识、向量法、解析法引导学生体会证明余弦定理，更好地让学生主动投入到整个数学学习的过程中，培养学生发散思维能力，拓展学生思维空间的深度和广度。【归纳概括】：余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。【设计意图】：知识归纳比较，发现特征，加强识记【结构分析】：观察余弦定理，指明了三边长与其中一角的具体关系，并发现a与A，b与B，C与c之间的对应表述，同时发现三边长的平方在余弦定理中同时出现。【知识联系】：余弦定理的推论：【设计意图】：在学生探究数学美，欣赏美的过程中，体会数学造化之神奇，学生可以兴趣盎然地掌握公式特征、结构及其他变式。运用定理，解决问题让学生观察余弦定理及推论的构成形式，思考用余弦定理及推论可以解决那些类型的三角形问题。例1：在ABC中，已知a = 2，b = 3，C = 60°，求边c。在ABC中，已知a = 7，b = 3，c = 5，求A、B、C。【设计意图】：让学生理解余弦定理及推论解决两类最基本问题，既已知三角形两边及夹角，求第三边；已知三角形三边，求三内角。例2：已知ABC中求c边长分析：（1）用正弦定理分析引导（2）应用余弦定理构造关于C的方程求解。（3）比较两种方法的利弊。能用正弦定理解决的问题均可以用余弦定理解决，更具有优越性。练习检测：1、某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离与第二辆车的距离之间关系为（）A：>   B：=    C：<   D：大小不确定2、锐角ABC中b=1，c=2，则a取值为（）A：（1,3）B：（1,）C：（，2）D：（，）3、在ABC中若有，你能判断这个三角形的形状吗？若呢？3、小结本节课的主要内容是余弦定理的证明，从平面几何、向量、坐标等各个不同的方面进行探究，得出的余弦定理无论在什么形状的三角形中都成立，勾股定理也只不过是它的特例。所以它很“完美”，从式子上又可以看出其具“简捷、和谐、对称”的美，其变式即推论也很协调。4、作业第1题：用正弦定理证明余弦定理。【设计意图】：继续要求学生扩宽思路，用正弦定理把余弦定理中的边都转化成角，然后利用三角公式进行推导证明。而这种把边转化为角、或把角转化为边的思想正是我们解决三角形问题中的一种非常重要的思想方法。第2题：在ABC中，已知，求角A和C和边c。【设计意图】：本题可以通过正弦定理和余弦定理来求解，让学生体会两种定理在解三角形问题上的利弊。运用正弦定理求角可能会漏解，运用余弦定理求角不会漏解，但是计算可能较繁琐。5、板书设计：1、推导余弦定理及其推论2、例1、例23、练习指导4、小结投影正弦、余弦定理，比较它们理解知识八：教学反思1、余弦定理是解三角形的重要依据，要给予足够重视。本节内容安排两节课适宜。第一节，余弦定理的引出、证明和简单应用；第二节复习定理内容，加强定理的应用。 2、当已知两边及一边对角需要求第三边时，可利用方程的思想，引出含第三边为未知量的方程，间接利用余弦定理解决问题，此时应注意解的不唯一性。但是这个问题在本节课讲给学生，学生不易理解，可以放在第二课时处理。    3、本节课的重点首先是定理的证明，其次才是定理的应用。我们传统的定理概念教学往往采取的