病虫害问题的数学建模

2011年中国矿业大学“行健杯”数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了第五届 “魅力数模 美丽矿大”数学建模竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）： B 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 教练组 日期： 年 月 日 评阅编号（由组委会评阅前进行编号）：第五届“魅力数模 美丽矿大”数学建模竞赛编 号 专 用 页评阅编号（由组委会评阅前进行编号）：评阅记录（可供评阅时使用）：评阅人评分备注统一编号：评阅编号：2011年中国矿业大学“行健杯”数学建模竞赛题目 病虫害问题摘 要本文在对题目进行深入理解和分析的基础上，对每个具体问题都建立了完整的数学模型并求出了相应的结果。从总体上分析，该问题是属于种群增长的问题，是外界条件下对于种群增长的应用，比如微分方程在生物种群上的应用问题，而且四个题目是一种条件递进关系，条件逐渐增多。总体上看，四个问题就是一个建模的过程。我们解决问题的思路是从简单到复杂。瓢虫以吹棉蚧为食，二者构成一条食物链。对于这个问题，我们采用Logistic微分方程模型，及其改进的模型，还有就是差分方程。题目所给的模型为差分方程模型，需要做的工作只是对于它在这个问题中的应用和参数的讨论修正。对于问题（a）：要求讨论分析模型，给出参数的含义。我们分析其在方程中的位置，比如k1，它处在Cn的前面，由Cn的含义，我们可以把k1理解为吹绵蚧的出生率，或者说是吹绵蚧在没有其他限制下的增长率。对于问题（b）：我们的假设是，在一个种群不存在的条件下（也即它的天敌、竞争者不存在），种群的增长速度服从的是皮尔曲线模型，也就是开始的增长速度呈指数的趋势，接着会有个拐点，随后达到环境所能承受的上限值。对于问题（c）：我们用Matlab中的工具箱对模型做出数据模拟，并对单一变量对于因变量的灵敏度分析，即讨论该变量对于因变量的影响是否显著的问题。对于问题（d）：我们加入一项，引入影响因子，从而对模型进行修正。考虑到杀虫剂的浓度及杀伤力，归为一个量杀虫剂的效果。我们对它进行量化。这是杀虫剂对吹绵蚧的影响，而对于它的天敌瓢虫，食饵减少，它的增长也会减少。一方面，食物减少了；另一方面，吃了有毒的吹绵蚧会导致瓢虫彻底的消失最后，我们根据建立的模型和数据的分析，给出了杀虫剂DDT使用策略，以及在应用于病虫害防治的可行性分析报告。【关键词】 Logistic微分方程模型；差分方程模型； 模型；皮尔曲线模型；杀虫剂DDT；种群增长；灵敏度分析；影响因子。一、问题的重述1868年，偶然从澳大利亚引入美国的吹绵蚧威胁到甚至会毁灭美国的柑橘业。为对抗这种形势，引进了一种天然的澳大利亚捕食者瓢虫，瓢虫使得吹绵蚧的数量降到一个相对低的水平。当发明了能杀死蚧的杀虫剂DDT后，农民就用DDT希望能进一步降低蚧的数量。但是，事实证明DDT对瓢虫也是致命的，而且利用了这种杀虫剂后的总效果是增加了蚧的数量。令Cn和Bn分别表示n天后吹绵蚧和瓢虫的种群量水平。现有模型Cn+1=Cn+k1Cn-k2BnCn；Bn+1=Bn-k3Bn+k4BnCn，其中ki都是正常数。（a） 讨论该模型中每个ki意义。（b） 在一个种群不存在时，关于另一个种群的增长的隐含的假设是什么？（c） 对系数取值并再试试几个起始值。你的模型预测的长期行为是什么？改变系数。你的实验是否表明模型对系数是敏感的？对起始值是否是敏感的？（d） 修改该捕食者一食饵模型使之能反映农民（在常规的基础上）使用杀虫剂以与瓢虫和吹棉蚧当前的数量成比例的杀死率杀死他们的情形。二、基本假设与符号说明2.1 基本假设（1）田地的面积随时间没有变化，且每次种农作物都将田地种满；（2）忽略杀虫剂对其他农作物的影响；（3）不考虑空间对农作物的限制； （4）在一个种群不存在的条件下，也即它的天敌、竞争者不存在； （5）不考虑影响增长率，死亡率的其他因素，如自然灾害，战争，迁移等。2.2 符号说明符号表示内容吹绵蚧密度和瓢虫被害率的函数关系吹绵蚧密度和瓢虫结实率的函数关系吹绵蚧密度和瓢虫千粒重的函数关系吹绵蚧密度和瓢虫减产率的函数关系杀虫剂DDT密度与农作物损失率的函数关系杀虫剂DDT密度与农作物的函数关系杀虫剂DDT密度与农作物的函数关系其他符号，在文中另行说明三、问题的分析对于问题（a）：要求讨论分析模型，给出参数的含义。这个对于其实有些的突兀，但分析其在方程中的位置，也可以给出理解。比喻k1，它处在Cn的前面，由Cn的含义，我们可以把k1理解为吹绵蚧的出生率，或者说是吹绵蚧在没有其他限制下的增长率。（Cn+1=Cn+k1Cn-k2BnCn；Bn+1=Bn-k3Bn+k4BnCn）其他的可以类似的给出含义。对于问题（b）：问基本假设是什么。其实对于问题一中参数的含义分析，已经可以给出一些假设。通常的假设是：在一个种群不存在的条件下（也即它的天敌、竞争者不存在），种群的增长速度服从的是皮尔曲线模型（具体可以参见统计预测书籍介绍）。也就是开始的增长速度呈指数的趋势，接着会有个拐点，随后达到环境所能承受的上限值。对于问题（c）：需要对模型做出数据模拟，这个可以用Matlab中的工具箱处理。很方便的，里面也有单一变量对于因变量的灵敏度分析。灵敏度分析也就是讨论该变量对于因变量的影响是否显著的问题。对于问题（d）：要求改进模型，考虑杀虫剂对种群水平的影响。对于这个问题，也有很多资料可查，多半是加入一项，类比于前两项，引入影响因子，从而对模型进行修正。这个可以考虑到杀虫剂的浓度及杀伤力，实际上可以归为一个量杀虫剂的效果。显然这个量需要量化，因此可以找与它含义差不多的量进行刻画。这是杀虫剂对吹绵蚧的影响，而对于它的天敌瓢虫，食饵减少，它的增长也会减少。一方面，食物减少了；另一方面，吃了有毒的吹绵蚧会导致瓢虫彻底的消失。因此对于吹绵蚧差分模型的改进要复杂些。其它方面就需要具体做的时候，通过更深入的分析而改进了。四、模型储备知识和基本概念4.1插值拟合插值与插值函数：已知由 (可能未知或非常复杂)产生的一批离散数据 ，且 个互异插值节点 ，在插值区间内寻找一个相对简单的函数 ，使其满足下列插值条件： 再利用已求得的 计算任一非插值节点 的近似值 ，这就是插值。其中 称为插值函数， 称为被插函数。 最小二乘拟合： 已知一批离散的数据 ， 互不相同，寻求一个拟合函数 ，使 与 的误差平方和在最小二乘意义下最小。在最小二乘意义下确定的 称为最小二乘拟合函数。 4.2 Logistic微分方程模型设表示时刻人口总数和增长率，假设只考虑增长率，其他因素的影响不考虑，则在至这段时间内人口总数增长为 得 (1) Logistic模型是阻滞增长模型，引入常数，用来表示自然资源和环境条件所允许的最大人口，并假定人口增长率 （2）由此得: 解得 （3）4.3差分方程简介规定只取非负整数。记为变量在点的取值，则称为的一阶向前差分，简称差分，称为的二阶差分。类似地，可以定义的阶差分。由及的差分给出的方程称为的差分方程，其中含的最高阶差分的阶数称为该差分方程的阶。差分方程也可以写成不显含差分的形式。例如，二阶差分方程也可改写成。满足一差分方程的序列称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。称如下形式的差分方程 （1）为阶常系数线性差分方程，其中是常数，。其对应的齐次方程为 （2）容易证明，若序列与均为（2）的解，则也是方程（2）的解，其中为任意常数。若是方程（2）的解，是方程（1）的解，则也是方程（1）的解。方程（1）可用如下的代数方法求其通解：（I）先求解对应的特征方程 （3）（II）根据特征根的不同情况，求齐次方程（2）的通解。（i）若特征方程（3）有个互不相同的实根，则齐次方程（2）的通解为 （为任意常数）（ii）若是特征方程（3）的重根，通解中对应于的项为，为任意常数。（iii）若特征方程（3）有单重复根，通解中对应它们的项为，其中为的模，为的幅角。（iv）若是特征方程（3）的重复根，则通解对应于它们的项为为任意常数。（III）求非齐次方程（1）的一个特解。若为方程（2）的通解，则非齐次方程（1）的通解为。求非齐次方程（1）的特解一般要用到常数变易法，计算较繁。对特殊形式的也可使用待定系数法。例如，当，为的次多项式时可以证明：若不是特征根，则非齐次方程（1）有形如的特解，也是的次多项式；若是重特征根，则方程（1）有形如的特解。进而可利用待定系数法求出，从而得到方程（1）的一个特解。五、模型的建立与问题的求解5.1 问题（a）的求解在问题（a）中， Cn+1=Cn+k1Cn-k2BnCn；Bn+1=Bn-k3Bn+k4BnCn是差分方程模型。若Cn表示n天后吹绵蚧的种群量水平，Bn表示n天后瓢虫的种群量水平，则k1理解为吹绵蚧的出生率，或者说是吹绵蚧在没有其他限制下的增长率；k2理解为在使用杀虫剂DDT的作用下瓢虫对吹绵蚧死亡率的影响因子；k3理解为瓢虫在没有其他限制下的死亡率；k4理解为在使用杀虫剂DDT的作用下吹绵蚧对瓢虫出生率的影响因子。5.2 问题（b）的求解 在一个种群不存在的条件下（也即它的天敌、竞争者不存在），种群的增长速度服从的是皮尔曲线模型。也就是开始的增长速度呈指数的趋势，接着会有个拐点，随后达到环