深洞计算数学建模
深洞估算摘要本文对深洞估算的问题建立数学模型。在对测量环境进行适当的假设下，并且遵循物理学上的自由落体运动和声音传播等一些物理规律，着重考虑温度和记录者对声音反应时间这两个因素对测量结果的影响，建立了以温度和时间为自变量，洞深为因变量的二元函数。然后用MATLAB软件，对该模型进行求解并得出不同条件下测量时的洞深。为只考虑相同因素下的测量提供可参考的数据，提高测量的效率。最后对模型进行了客观的评价。关键词：深洞估算 温度 反应时间 二元函数 目录摘要1目录11问题提出22问题分析23模型假设24符号说明35模型建立36模型求解3 457模型评价5 51问题提出假如你站在洞口且身上仅带着一只具有跑秒功能的计算器，你出于好奇心想扔下一块石头听回声的方法来估算洞的深度，假定你捡到石头，并准确地测定听到回声的时间T=5s，在不计空气阻力的条件下尽可能考虑客观因素来分析这一问题，给出相应的数学模型，并估计洞深。2问题分析问题中听到回声的的时间已经确定。如果要求出洞的深度，就必须要知道声音在深洞的传播情况。由物理学的观点可以知道声音传播速度与介质有关。音波可以在固体、液体或是气体介质中传播，介质密度愈大，则音速愈快。在空气中，音速又会依空气之状态不同而有不同数值。洞内不同深度受到阳光照射程度不同，造成洞内的物理环境并不是一致的。这样声音在洞内传播的速度并不是恒定的，有很多环境因素影响着声音的传播，例如：温度，湿度，密度，洞内壁的粗糙程度，洞的曲折程度等。还要考虑该地区重力加速度的影响。另外，我们要弄清楚测量的原理。题目给出的时间T包含了三个部分。一是小球下落到洞底的时间，二是小球落到底部撞击发出的声音传到洞口的时间，三是记录者的反应时间，所以可以得出： 测定的时间=小球下落的时间+声音传到洞口+反应时间3模型假设由于洞内的不同深度的环境我们不能够详细地掌握，为了能够建立起声速与洞深度的函数关系，需要对客观环境做出适当的弱化。需要提出以下假设。（1） 假设洞内不同深度的温度，湿度，密度都是相同的；（2） 重力加速度为物理学常用的g=9.8m/s；（3） 洞壁均匀光滑而且是垂直的，小球是严格做自由落体运动；（4） 小球下落与计时器计时是同时开始的；（5） 记录者是通过听到空气传播的声音记录时间，且记录者和计时器反应正常。 4符号说明符号单位名称说明T1s小球下落的时间T2s声音传到洞口hm洞的深度垂直深度ts反应时间查阅资料可得t=0.15s,0.4sum/s声速c摄氏度5模型建立在不计空气阻力的情况进行讨论。由物理学的自由落体运动的公式：h = 1/2g T12 (1)得出： T1 = 22hg (2)由于我们假设了洞内不同深度的物理环境一致的，声音是在洞内是匀速传播的，所以我们也可以得出：T2 = hu (3)则可找出等量关系T=22hg + hu +t (4)当知道测量环境的温度是，1u是一个常数。则可以将（4）式转化成0=22hg + hu +t-T同时已知T=5s，所以 =2g - 4u（t-T）>0h只能取大于零的实数，解得h等于h=-2g+2g-4u(t-5)2u (5)由于在干燥空气中，声速的经验公式是： u = 331.3+ (0.606*c)m/s（c=摄氏气温）(6)同时查阅相关资料知道正常人听到声音的反应时间为0.15s-0.4s (7)6模型解答为了求出的深度，需要联立（5）、（6）、（7）式，而且函数h是一个与温度和反应时间都有关的函数。h=-u2g+2gu2-4u(t-5)2我们将在正常人反应的时间内，温度10-37的范围内估算洞的深度。当c=10,37时，u的图像c=10:1:37;u=331.3+ (0.606*c);plot(c,u);xlabel('温度/'),ylabel('声速/(m/s)')图1确定u的范围后，可以看出函数h是以t和u为变量的二元函数，同时有： h = (h)2则可以用MATLAB软件画出函数h的图像>>clear;>>c=10:1:37;g=9.8;x=2/g;y=sqrt(x);u=331.3+ (0.606*c);>> t=0.15:0.05:0.4; %t的范围为0.15，0.4 >> u=337.36:0.606:353.7220; %u的范围为337.36，353.7220>> t,u=meshgrid(t,u); %产生一个x,y平面上6×28的网格>> h=(1/2.*(-y.*u+sqrt(x.*u.2-4.*u.*(t-5).2; %产生函数值h>>mesh(t,u,h)>>xlabel('反应时间/s'),ylabel('声速/(m/s)'),zlabel('洞深/m')>>图2结合图1和图2，可以找到在各个反应时间和温度下对应的洞深数值。7模型评价该模型建立是在对客观环境适当弱化的条件下展开的，同时考虑了温度和记录者的对声音的反应时间对测量结果的影响。建立起的以温度和反应时间为变量的二元函数模型，能够得出某温度下不同反应时间的洞深数值，也能够得出某一反应时间下不同温度的洞深数值。但该模型考虑的因素还是相对较少，并不能很准确地得出洞的深度。一方面，该模型是建立在特定的假设条件，具有一定的局限性；另一方面，也为相似的问题提供一种可参考的方法，并尽可能在考虑更多客观因素下对问题进行解答。6
