四川省成都市高新区2019届高三上学期“一诊”模拟考试数学（理）试题（附解析）

2019届高三上学期“一诊”模拟考试数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出集合A的范围，根据集合B为整数集，即可求得。【详解】解不等式可得集合因为集合所以所以选C【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，集合交集的基本运算，属于基础题。2.已知为虚数单位，复数满足，则复数的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】对复数化简，即可求得虚部。【详解】化简复数可得 所以虚部为 所以选D【点睛】本题考查了复数的化简及基本概念，注意虚部不含有虚数单位，属于基础题。3.甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为、标准差分别为、，则 A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】C【解析】【分析】通过读图可知甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故.【详解】由图可知，甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故.故选.【点睛】本题考查平均数及标准差的实际意义，是基础题.4.已知直线和平面，若，则“”是“”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据直线与平面的垂直关系，可判断关系。【详解】因为，若，根据平面垂直的判定可得，所以“”是“”的充分条件当，若，则或或m与相交，所以为不必要条件即“”是“”的充分不必要条件所以选A【点睛】本题考查了直线与平面的垂直关系，充分必要条件的判断，属于基础题。5.已知椭圆，则下列结论正确的是（ ）A. 长轴长为 B. 焦距为 C. 短轴长为 D. 离心率为【答案】D【解析】【分析】将椭圆化为标准方程，根据方程可求得a、b、c的值，求椭圆的离心率，进而判断各选项。【详解】由椭圆方程化为标准方程可得 所以 长轴为 ，焦距，短轴，离心率 所以选D【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及a、b、c的含义，椭圆离心率的求法，属于基础题。6.执行下面的程序框图，则输出的值为（ ）A. 99 B. 98 C. 100 D. 101【答案】A【解析】【分析】根据程序框图运算，依次算出前几个结果，根据规律可判断。【详解】根据程序框图运算过程可得 此时， 成立所以 所以选A【点睛】本题考查了程序框图的简单应用，注意变化规律，属于基础题。7.九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如下图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据三视图，画出空间结构体，由各个边长可求得表面积。【详解】由三视图可知，三棱柱空间结构如下图所示：由左视图和主视图可知，主视图为等腰直角三角形，且直角边长为，斜边长为2所以两个底面面积为 侧面由三个面组成，其中两个面是全等的，底为2，高为；另外一个面底为2，高为2。侧棱与底面垂直，所以所以表面积为所以选C【点睛】本题考查了三视图的简单应用，空间结构体的表面积求法，属于基础题。8.若在关于的展开式中，常数项为2，则的系数是（ ）A. 60 B. 45 C. 42 D. -42【答案】A【解析】【分析】分析二项式的展开式，求出的常数项，进而得到的值，然后再求出项的系数【详解】由题意得展开式的通项为，展开式的常数项为，展开式中项为，展开式中的系数是60故选A【点睛】求多项展开式某一项的系数问题，有两种思路（1）先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组合知识求解；（2）将其结合看成二项式，用两次二项式定理的通项求解9.已知数列是等比数列，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据等比数列通项公式，可求得首项与公比；再代入即可求得结果。【详解】数列是等比数列，且，所以由通项公式可得 ，解得所以 代入可得所以选B【点睛】本题考查了等比数列通项公式的简单应用，属于基础题。10.已知函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位，得到的图象关于轴对称，则（ ）A. 函数的周期为 B. 函数图象关于点对称C. 函数图象关于直线对称 D. 函数在上单调【答案】D【解析】【分析】根据对称轴之间的距离，求得周期，再根据周期公式求得；再平移后，根据关于y轴对称可求得的值，进而求得解析式。根据解析式判断各选项是否正确。【详解】因为函数图象相邻两条对称轴之间的距离为所以周期 ，则 所以函数函数的图象向左平移单位，得到的解析式为因为图象关于y轴对称，所以，即，k Z因为所以即所以周期，所以A错误对称中心满足，解得，所以B错误对称轴满足，解得，所以C错误单调增区间满足，解得，而在内，所以D正确所以选D【点睛】本题考查了三角函数的综合应用，周期、平移变化及单调区间的求法，属于基础题。11.如图，在矩形中，现分别沿将矩形折叠使得与重合，则折叠后的几何体的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分析题意得折叠后的几何体为正三棱柱，底面边长为1，高为2根据正三棱柱的外接球的特征求出球半径后可得其表面积【详解】由题意得，折叠后的几何体为正三棱柱，且该三棱柱的底面边长为1，高为2如图所示的正三棱柱设上下底面的中心分别为，则球心为的中点，连，则，即球半径，该几何体的外接球的表面积为故选B【点睛】解答本题时注意两点：（1）分析得到折叠后的几何体的形状；（2）解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，然后根据题意并结合勾股定理得到关于球半径的方程，解方程可得球的半径12.过曲线的左焦点作曲线的切线，设切点为，延长交曲线于点，其中,有一个共同的焦点，若，则曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设双曲线的右焦点的坐标为，利用为的中点，为的中点，可得为的中位线，从而可求，再设，过点作轴的垂线，由勾股定理得出关于的关系式，最后即可求得离心率【详解】设双曲线的右焦点为，则的坐标为因为曲线与有一个共同的焦点，所以曲线的方程为因为，所以，所以为的中点，因为O为的中点，所以OM为的中位线，所以OM因为|OM|=a，所以又，所以设N(x,y)，则由抛物线的定义可得，所以过点F1作x轴的垂线，点N到该垂线的距离为，在中，由勾股定理得，即，所以，整理得，解得故选A【点睛】解答本题时注意以下几点：（1）求双曲线的离心率时，可根据题中给出的条件得到关于的关系式，再结合得到间的关系或关于离心率的方程（或不等式），由此可得离心率的取值（或范围）（2）本题中涉及的知识较多，解题时注意将题中给出的关系进行转化，同时要注意圆锥曲线定义在解题中的应用二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知平面向量，则在上的投影为_.【答案】2【解析】【分析】根据向量加法运算及数量积，求得夹角，即可求得在上的投影。【详解】平面向量，所以设与的夹角为则 所以在上的投影为【点睛】本题考查了向量的加法运算，运用向量数量积求夹角，并根据夹角求向量的投影，属于基础题。14.设函数，则_.【答案】【解析】【分析】先判断出的范围，然后根据函数解析式逐步求解可得结果【详解】，由于，故答案为12【点睛】本题以分段函数为载体考查对数的运算和对数恒等式的运用，解题的关键是根据分段函数中自变量所在的范围选择相应的解析式，然后再求函数值15.已知数列，若，则数列的前项和为_.【答案】【解析】【分析】根据递推公式，求得通项公式，进而利用裂项法求其前n项和。【详解】因为所以两式相减得所以设数列的前项和为Sn则 【点睛】本题考查了通项公式的求法，裂项求和法的简单应用，属于基础题。16.已知函数，则满足的实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据题意构造新函数，并证明得到函数为偶函数且在上单调递增，然后将不等式转化为，再根据的单调性求解即可【详解】由题意得，故由得令，则有又，函数为偶函数又当时，函数为增函数，当时，函数为减函数不等式等价于，两边平方整理得，解得实数的取值范围是故答案为【点睛】解答本题注意两点：（1）通过构造新函数，然后利用新函数的奇偶性和单调性求解不等式（2）注意偶函数性质的运用，即偶函数满足，可将函数值的大小转化成自变量到对称轴的距离的大小来求解三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.17.如图，在平面四边形中，.（）若，求；（）求四边形面积的最大值.【答案】（I）；（II）.【解析】【分析】（）连接，于在中，由余弦定理得，又，所以为等腰三角形，从而，所以（）先求出在中，由余弦定理得，然后利用不等式可得，于是，进而可得，故得所求最大值【详解】（）连接，在中，由余弦定理得：，所以,又，所以为等腰三角形，作于，则在中，所以，所以（）由题意知在中，由余弦定理得，所以又，当且仅当时等号成立，所以，所以，所以，所以故四边形面积的最大值为【点睛】本题考查解三角形的应用，解题时注意通过合理作辅助线构造出三角形求解，同时还要注意平面几何图形性质的灵活应用对于解三角形中的最值问题，要注意重要不等式的应用，解题时要注意等号成立的条件18.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，侧面底面，.（）求证：平面面；（）过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值.【答案】（I）详见解析；（II）.【解析】【分析】（）由题意得到面，从而又由题意证得四边形为菱形，故得，于是平面根据面面垂直的判定定理可得结论成立（）由题意得为中点，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，根据两向量夹角的余弦值可得二面角的余弦值【详解】（）证明：因为，则，