湖南省长沙市2019届高三上学期第五次调研考试数学（文科）试题（附解析）

- 1 - 20182019 学年高三第五次调研考试学年高三第五次调研考试 文科数学试卷文科数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的）要求的） 1.已知实数a满足，且，则 A. 2i B. -2i C. 2-i D. -2-i 【答案】C 【解析】 【分析】 先利用复数相等得到，再利用复数的除法得到 . 【详解】因为，故. 又，故选 C. 【点睛】本题考查复数相等的条件及复数概念，属于基础题. 2.设集合，则 A. （0，1） B. 0，1） C. （0，1 D. 0，1 【答案】A 【解析】 【分析】 算出两个集合后可求它们的交集. 【详解】，故，故选 A. 【点睛】一般地，在考虑集合的交、并、补时，要认清集合中元素的含义，如表示函数的定 义域，而表示函数的值域，表示函数的图像. 3.“函数在区间上单调递增”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 - 2 - 【分析】 考虑函数在上为单调递增时实数 的取值范围后可得两者的关系. 【详解】若，则对称轴，所以在上为单调递增， 取，则对称轴，在上为单调递增，但，所以“在上为单调递增” 是“ ”的必要不充分条件. 【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若 则 ”是真命题， “若 则 ”是假命 题，则 是 的充分不必要条件；若“若 则 ”是真命题， “若 则 ”是真命题，则 是 的充分必要条件；若 “若 则 ”是假命题， “若 则 ”是真命题，则 是 的必要不充分条件；若“若 则 ”是假命题， “若 则 ” 是假命题，则 是 的既不充分也不必要条件. 4.已知函数的图象过定点P，且角 的终边过点P，始边与x轴的正半轴重合，则 的值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出 的坐标，再求出，最后利用倍角公式求出后可得. 【详解】因为的图像过定点 ，所以，故， ，故选 C. 【点睛】三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去 分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化或者诱导公式，而结构上差异 的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角. 5.数列满足点 在直线上，则前 5 项和为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据点在直线上可以得到，从而得到，故为等比数列，根据公式可求. - 3 - 【详解】因为在直线上，所以，故， 所以当时，有即， 又，故，所以，所以是首项为 ，公比为 的等比数列， ，选 A. 【点睛】数列的通项与前 项和 的关系式，我们常利用这个关系式实现与之 间的相互转化. 6.设点 为坐标原点，点E（1，k） ，点P（x，y）满足，若目标函数的最大值 为 10则实数k A. 2 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 目标函数为，画出不等式组对应的可行域，分两种情形结合目标函数最值讨论动直线 的位置可得实数 的值. 【详解】由题设，有，不等式组对应的可行域如图所示： 其中，. 当时，动直线过 时有 有最大值，且最大值为，故. - 4 - 当时，动直线过 或 时 有最大值，过前者，则最大值为 ，不合题意；若为后者，舍去. 综上，选 C. 【点睛】二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考二 元函数的几何意义，比如表示动直线的横截距的三倍 ，而则表示动点与 的连线的斜率 7.我国南北朝时期的数学著作孙子算经卷下第二十六题， “物不知数”问题，原文如下：“今有物 不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二问物几何？”其大意为：一个整数除以三余二， 除以五余三，除以七余二，求这个整数这类问题可以用计算机解决记Nr（MOD m） ，即正整数N除以 正整数m的余数为r，例如 102（MOD 4） 执行如图所示的程序框图，则输出的i等于 A. 6 B. 5 C. 8 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】 流程图的作用是求最小的正整数，满足除以的余数分别为 【详解】流程图是求最小的正整数，满足除以的余数分别为除以 余数为 的正整数依次为 ，其中第一个除以余数分别为的正整数为，是第 8 个整数，故 的输出值为 ， 选 C 【点睛】本题考查流程图，要求能从流程图中看出能其作用并给出输出值，属于基础题 - 5 - 8.已知命题为奇函数；命题，则下面结论正确的是 A. 是真命题 B. 是真命题 C. 是假命题 D. 是假命题 【答案】B 【解析】 【分析】 先判断命题都是真命题，故可得正确选项 【详解】对于 ，的定义域为， ， 进一步化简得到， 故为奇函数，故 为真命题 对于 ，考虑单位圆中的正弦线、正切线和弧长的关系，如图所示， ，因为， 故，即故 为真命题， 综上，为真命题，选 B 【点睛】复合命题的真假判断为“一真必真，全假才假” ，的真假判断为“全真才真，一假必假” ， 的真假判断是“真假相反” 9.已知抛物线上一点M（4，y0） （y00）到焦点F的距离为 5，直线l过点N（-1，0） ， 且lOM，则直线l与抛物线C的交点个数为 A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 1 个或 2 个 【答案】B - 6 - 【解析】 【分析】 利用焦半径公式计算出 后可得的坐标和抛物线的方程，再计算出直线 的方程，联立直线 的方程和抛物线 方程利用判别式可得它们交点的个数 【详解】，所以， 又，故，直线 由可得，解得， 故直线 与抛物线只有一个交点选 B 【点睛】一般地，抛物线 上的点到焦点的距离为；抛物线 上的点 到焦点的距离为.直线与抛物线的交点个数可通过联立直线方程和抛物线方程结合判别式来讨论. 10.已知函数，为的零点，为图象的对称轴，如果存在实 数x0，使得对任意的实数x，都有成立，当 取最小值时 A. 在上是增函数 B. 在上是增函数 C. 在上是减函数 D. 在上是减函数 【答案】B 【解析】 【分析】 根据函数的零点和对称轴得到 的值，再根据恒成立可以得到 的表达式，求出 的最小 值后再求函数的单调区间可得正确的选项. 【详解】因为为函数的零点，故. 因为是图像的对称轴，故，故，. 因，故或者，所以或者， . 因恒成立，故， 若，故，所以，故； - 7 - 若，则，所以，故； 所以，令， 故，所以在上为增函数， 故选 B. 【点睛】一般地，我们研究的图像和性质时，通常用复合函数的方法来讨论，比如求函数的 单调区间时，我们先确定的单调性，再函数的单调性确定外函数的单调区间后求出 的范围 即可，比如求函数的对称轴、对称中心时，可以由的对称轴或对称中心得到相应的对称轴或对称中心. 11.已知P是边长为 3 的等边三角形ABC外接圆上的动点，则的最大值 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 设的外接圆的圆心为 ，则，故，计算的最大值 可求的最大值. 【详解】设的外接圆的圆心为 ，则圆的半径为， ，故 . ，故，当共线同向时取最大值.选 D. 【点睛】向量数量积或模长的计算中，注意向已知长度的向量、与已知角的边有关的向量转化.另外，在三 角形 中，如果 为三角形的重心，则. 12.对于任意的，关于x的方程在上有三个根，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 - 8 - 原方程可以化成，取，利用导数研究两个函数的单调性、 极值和最值可得实数 的取值范围. 【详解】原方程可以化成，取，. ， 当时，故在上为减函数； 当时，故在上为增函数； 当时，故在上为增函数； ， ，故，在上为增函数. 因为关于 的方程在有三个不同的实数根，故 ，故，解答，故选 A. 【点睛】复杂方程的解的问题，应结合方程的特点将已知方程转化为熟悉函数对应的方程，再把方程解的特 征转化为函数应该具有的特征，最后利用导数研究函数的单调性、极值等结合函数特征得到参数的取值范围， 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分）分） 13.已知三棱锥ABCD的四个顶点都在同一个球的球面上，AB，BC3，AC2，若三棱锥 ABCD体积的最大值为，则此球的表面积为_ 【答案】16 【解析】 【分析】 为直角三角形，设球的半径为 ，体积最大时， 到的距离为，利用体积的最大值计 算出 后可得球的表面积 - 9 - 【详解】为直角三角形，设球的半径为 ，球心为 ，的中点为， 则平面，因平面，故 三棱锥的最大体积为 ， 解得，故球的表面积为，填 【点睛】几何体的外接球的问题，关键是确定出球心的位置和球的半径，后者的计算需要把直径或半径放置 在可解的三角形中 14.设是函数的一个极值点，则_ 【答案】 【解析】 【分析】 利用可得的值，从而得打的值 【详解】因为为的极值点，故即， 所以，故，填 【点睛】函数的极值刻画了函数局部性质，它可以理解为函数图像具有“局部最低”的特性，用数学语言描 述则是：“在的附近的任意附近的任意 ，有（） ” 另外如果在附近可导且的左右两侧 导数的符号发生变化，则必为函数的极值点且 15.已知双曲线的左、右焦点分别是F1、F2，P为双曲线C上一点，以F1F2为直径 的圆与双曲线的渐近线交于点Q，P、Q均位于第一象限，且P为QF2的中点，则双曲线C的离心率为_ 【答案】 【解析】 【分析】 的坐标为，从而，代入双曲线方程后可得离心率 【详解】双曲线的一条渐近线的方程为，设其倾斜角为 ，右焦点， 则，故 又，故，所以，代入双曲线方程有，从而填 - 10 - 【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系而离心率的取值 范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于的不等式或不等式组 16.已知直线与曲线至少有一个公共点，则 的取值范 围是_ 【答案】 【解析】 【分析】 直线 过定点，曲线 如图所示，计算出动直线与曲线在第二象限内的圆弧相切以及动直线与 第一象限内、第四象限内的圆相切时对应的斜率可得 的取值范围 【详解】直线 过定点，曲线 如图所示： 其中，各圆弧所在圆的半径为，设过 的动直线为 即， 考虑动直线与第二象限的曲线相切时有 ，解得或（舎） 过曲线在第一象限内的圆弧所在的圆心作 的平行线，与曲线在第一象限内的交点为 ，则，故直 线分别与曲线在第一象限、第四象限内的圆弧相切， 故当动直线与曲线至少有一个公共点时， 若斜率存在（） ，则即，也就是； 若斜率不存在，则 综上，故填 - 11 - 【点睛】动直线中含有两个参数，因为两个参数是齐次的，故而可判断动直线过定点曲线的方程具有这样 的特点：若在曲线上，则也在曲线上，故曲线关于 轴对称、关于 轴对称、关于原点对称， 故而可准确刻画曲线的形状 三、解答题（共三、解答题（共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.已知正项数列满足 （）求数列的通项公式； （）令，记数列的前n项和为Tn，求证： 【答案】 （）通项公式为；（）详见解析 【解析】 【分析】 （1）用数学归纳法可求的通项 （2）由（1）可得，利用基本不等式可以证明，从而可证 【详解】 （1），从而猜测：，下面用数学归纳法证明： 当时，有； 设当时，有，则当时， 有，所以当时，