姜启源等编《数学模型》第四版-课件-第一章--建立数学模型

第一章 建立数学模型,1.1 从现实对象到数学模型 1.2 数学建模的重要意义 1.3 数学建模示例 1.4 数学建模的方法和步骤 1.5 数学模型的特点和分类 1.6 怎样学习数学建模,玩具、照片、飞机、火箭模型, 实物模型,水箱中的舰艇、风洞中的飞机, 物理模型,地图、电路图、分子结构图, 符号模型,模型是为了一定目的，对客观事物的一部分 进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物.,模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征.,1.1 从现实对象到数学模型,我们常见的模型,你碰到过的数学模型“航行问题”,用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：,答：船速为20km/h.,甲乙两地相距750km，船从甲到乙顺水航行需30h， 从乙到甲逆水航行需50h，问船的速度是多少?,x=20 y =5,航行问题建立数学模型的基本步骤,作出简化假设（船速、水速为常数）；,用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）；,用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）；,求解得到数学解答（x=20, y=5）；,回答原问题（船速为20km/h）.,数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling),对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学表述.,建立数学模型的全过程 （包括表述、求解、解释、检验等）,数学模型,数学建模,1.2 数学建模的重要意义,电子计算机的出现及飞速发展；,数学以空前的广度和深度向一切领域渗透.,数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步， 越来越受到人们的重视.,在一般工程技术领域, 数学建模仍然大有用武之地；,在高新技术领域, 数学建模几乎是必不可少的工具；,数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地.,“数学是一种关键的、普遍的、可以应用的技术”.,数学“由研究到工业领域的技术转化，对加强经济竞争力具有重要意义”.,“计算和建模重新成为中心课题，它们是数学科学技术转化的主要途径” .,数学建模的重要意义,数学建模的具体应用,分析与设计,预报与决策,控制与优化,规划与管理,数学建模,计算机技术,知识经济,1.3 数学建模示例,1.3.1 椅子能在不平的地面上放稳吗,问题分析,模型假设,通常 三只脚着地,放稳 四只脚着地,四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;,地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;,地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地.,模型构成,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来.,椅子位置,利用正方形(椅脚连线)的对称性.,用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置.,四只脚着地,距离是的函数.,四个距离(四只脚),A,C 两脚与地面距离之和 f(),B,D 两脚与地面距离之和 g(),两个距离,椅脚与地面距离为零,正方形ABCD 绕O点旋转,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来.,f() , g()是连续函数,对任意, f(), g()至少一个为0,数学问题,已知： f() , g()是连续函数 ; 对任意， f() g()=0 ; 且 g(0)=0， f(0) 0. 证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.,模型构成,地面为连续曲面,椅子在任意位置至少三只脚着地,模型求解,给出一种简单、粗糙的证明方法,3）由 f, g 的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性质, 必存在0 ( 0 0 /2) , 使h(0)=0, 即 f(0) = g(0) .,1）将椅子旋转90o，对角线AC和BD互换. 由 g(0)=0，f(0) 0，知 f(/2)=0, g(/2)0.,2）令 h()= f()g(), 则 h(0)0 和 h(/2)0.,4）因为 f() g()=0, 所以 f(0) = g(0) = 0.,评注和思考,建模的关键：,假设条件中哪些是本质的, 哪些是非本质的?,考察四脚连线呈长方形的椅子 (习题4).,用表示椅子的位置,椅子的旋转轴在哪里，它在旋转过程中怎样变化？,用 f(), g()表示椅脚与地面的距离,证明过程的粗糙之处：,1.3.2 商人们怎样安全过河,问题(智力游戏), 3名商人 3名随从,随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货.,乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?,问题分析,多步决策过程,决策 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员.,要求在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河.,模型构成,xk第k次渡河前此岸的商人数,yk第k次渡河前此岸的随从数,xk, yk=0,1,2,3; k=1,2,sk=(xk , yk) 过程的状态,S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2,S 允许状态集合,uk第k次渡船上的商人数,vk第k次渡船上的随从数,dk=(uk , vk) 过程的决策,D 允许决策集合,uk, vk=0, 1, 2; k=1,2,sk+1=sk dk,+(-1)k,状态转移律,D=(u , v) u+v=1, 2, u, v=0, 1, 2,状态因决策而改变,模型求解,穷举法 编程上机,图解法,状态s=(x,y) 16个格点,允许决策 移动1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移.,s1,sn+1,d1, ,d11给出安全渡河方案,允许状态,S=(x , y) x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2,求dkD(k=1,2, n), 使skS, 并按转移律 sk+1=sk+(-1)kdk 由 s1=(3,3)到达 sn+1=(0,0).,模型构成,商人和随从人数增加或小船容量加大;,商人们怎样安全过河,智力游戏,多步决策过程(数学模型),易于推广:,考虑4名商人各带一随从的情况.,多步决策模型:,恰当地设置状态和决策, 确定状态转移律及目标(目标函数).,便于求解 (计算机编程等).,场景,1.3.3 如何施救药物中毒,两位家长带着孩子急匆匆来到医院急诊室.,诉说两小时前孩子一次误吞下11片治疗哮喘病、剂量100mg/片的氨茶碱片，已出现呕吐、头晕等不良症状.,按照药品使用说明书，氨茶碱的成人用量是100200mg / 次，儿童是35 mg/kg.,过量服用可使血药浓度(单位血液容积中的药量)过高，100g/ml浓度会出现严重中毒，200g/ml浓度可致命.,医生需要判断：孩子的血药浓度会不会达到100200 g/ml；如果会达到，应采取怎样的紧急施救方案.,调查与分析,转移率正比于x,排除率正比于y,认为血液系统内药物的分布，即血药浓度是均匀的，可以将血液系统看作一个房室，建立“一室模型” .,药量x(t),药量y(t),血液系统对药物的吸收率 (胃肠道到血液系统的转移率) 和排除率可以由半衰期确定.,半衰期可以从药品说明书上查到.,通常，血液总量约为人体体重的78%，体重5060 kg的成年人有4000ml左右的血液.,目测这个孩子的体重约为成年人的一半，可认为其血液总量约为2000ml.,调查与分析,血药浓度=药量/血液总量,口服活性炭来吸附药物，可使药物的排除率增加到原来（人体自身）的2倍.,临床施救的办法：,体外血液透析，药物排除率可增加到原来的6倍，但是安全性不能得到充分保证.,模型假设,1. 胃肠道中药物向血液的转移率与x(t) 成正比，比例系数(0)，总剂量1100mg药物在t=0瞬间进入胃肠道.,2. 血液系统中药物的排除率与y(t) 成正比，比例系数(0)，t=0时血液中无药物.,3. 氨茶碱被吸收的半衰期为5小时，排除的半衰期为6小时.,4. 孩子的血液总量为2000ml.,胃肠道中药量x(t), 血液系统中药量y(t)，时间t以孩子误服药的时刻为起点（t=0）.,模型建立,x(t)下降速度与x(t)成正比(比例系数), 总剂量1100mg药物在t=0瞬间进入胃肠道.,y(t)由吸收而增长的速度是x，由排除而减少的速度与y(t) 成正比(比例系数) , t=0时血液中无药物.,模型求解,药物吸收的半衰期为5小时,药物排除的半衰期为6小时,只考虑血液对药物的排除,血液总量2000ml,血药浓度200g/ml,结果及分析,胃肠道药量,血液系统药量,血药浓度100g/ml,孩子到达医院前已严重中毒，如不及时施救，约3小时后将致命！,y(2)=236.5,施救方案,口服活性炭使药物排除率增至原来的2倍.,孩子到达医院(t=2)就开始施救，血液中药量记作z(t),=0.1386 (不变)， =0.1155*2=0.2310,施救方案,施救后血液中药量z (t)显著低于y(t).,z (t)最大值低于致命水平.,要使z (t)在施救后立即下降，可算出至少应为0.4885.,若采用体外血液透析，可增至0.1155*6=0.693，血液中药量下降更快；临床上是否需要采取这种办法，当由医生综合考虑并征求病人家属意见后确定.,数学建模的基本方法,机理分析,测试分析,根据对客观事物特性的认识， 找出反映内部机理的数量规律.,将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的 统计分析，找出与数据拟合最好的模型.,机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究 (Case Studies)来学习。以下建模主要指机理分析.,二者结合,用机理分析建立模型结构, 用测试分析确定模型参数.,1.4 数学建模的方法和步骤,数学建模的一般步骤,模型准备,模型假设,模型构成,模型求解,模型分析,模型检验,模型应用,模 型 准 备,了解实际背景,明确建模目的,搜集有关信息,掌握对象特征,形成一个 比较清晰 的“问题”,模 型 假 设,针对问题特点和建模目的,作出合理的、简化的假设,在合理与简化之间作出折中,模 型 构 成,用数学的语言、符号描述问题,发挥想像力,使用类比法,尽量采用简单的数学工具,数学建模的一般步骤,模型 求解,各种数学方法、软件和计算机技术.,如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析.,模型 分析,模型 检验,与实际现象、数据比较， 检验模型的合理性、适用性.,模型应用,数学建模的一般步骤,数学建模的全过程,现实对象的信息,数学模型,现实对象的解答,数学模型的解答,(归纳),(演绎),表述,求解,解释,验证,根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题.,选择适当的数学方法求得数学模型的解答.,将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象.,用现实对象的信息检验得到的解答.,实践,现实世界,数学世界,1.5 数学模型的特点和分类,模型的逼真性和可行性,模型的渐进性,模型的强健性,模型的可转移性,模型的非预制性,模型的条理性,模型的技艺性,模型的局限性,数学模型的特点,数学模型的分类,应用领域,人口、交通、经济、生态、,数学方法,初等数学、微分方程、规划、统计、,表现特性,描述、优化、预报、决策、,建模目的,了解程度,白箱,灰箱,黑箱,确定和随机,静态和动态,线性和非线性,离散和连续,1.6 怎样学习数学建模,数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术,技术大致有章可循,艺术无法归纳成普遍适用的准则,想像力,洞察力,判断力,学习、分析、评价、改进别人作过的模型.,亲自动手，认真作几个实际题目.,参加全国大学生数学建模竞赛的意义和作用,1992年中国工业与应用数学学会(CSIAM)开始组织,1994年起教育部高教司和CSIAM共同举办(每年9月),2010年33省/市/区(含港澳)