自动控制幻灯片第2章

第2章 控制系统的数学模型,2-1 控制系统的微分方程,2-3 传递函数,2-2 非线性微分方程的线性化,2-4 系统传递函数方框图,2-5 反馈控制系统的传递函数,(Mathematical Modeling of Control Systems),2-1 控制系统的微分方程,1、建立微分方程的步骤,1）确定系统的输入量、输出量；,2）建立初始微分方程组；,3）消除中间变量、微分方程标准化。,控制系统的微分方程是在时间域表述系统动态性能的数学模型。,2、例题,例1 RC电路,（1） 确定输入量和输出量,输入量,输出量,（2） 建初始微分方程组,（3）消中间变量方程 标准化,RC电路是一阶常系数线性微分方程。,例2 机械位移系统,（1） 确定输入量和输出量,输入量,输出量,（2） 建立初始微分方程组,（3）消中间变量方程 标准化,机械位移系统是二阶常系数线性微分方程。,例3 他励直流电动机,(1) 确定输入量和输出量,输入量,输出量,干扰量,(2) 建立初始微分方程组,电枢回路方程,电动机动力学方程,(3)消中间变量, 方程标准化,他励电动机数学模型是二阶 常系数线性微分 方程。,线性微分方程求解,x(t) =(t), y(0) = y'(0) = 0,已知,求,y(t),解,方程两边求拉氏变换：,s2Y(s) + 2sY(s) + 2Y(s) = X(s),X(s) = 1,求拉氏反变换:,y(t) = e t sin t,拉氏变换求解微分方程的基本思想：,线性微分方程 （时域t）,代数方程 （复数域 s）,代数方程的解 （复数域 s）,线性微分方程 的解（时域t）,2-2 非线性微分方程的线性化,例4 铁芯线圈电路。,由KVL定律：,输入：,输出：,电感电压与磁通关系：,磁通是电流的非线性函数（磁化曲线）：,铁芯线圈数学 模型是非线性微 分方程。,绝大多数物理系统在参数某些范围内呈现出线性特性。当参数范围不加限制时，所有的物理系统都是非线性的。非线性可分为非本质非线性和本质非线性。,非本质非线性,本质非线性,例4(续)铁芯线圈模型 的线性化,(1)在平衡点 时,(2)忽略高次项,令,则有,（4）增量化方程,(3) 整理,非本质非线性模型的线性化处理的特点,线性化针对某一平衡点：,平衡点不同，得到的线性化方程的系数亦不相同。,线性化的精度：,若要使线性化有足够的精度，调节过程中变量偏离平衡点的偏差必须足够小。,线性化后，运动方程的初始条件：,线性化后的运动方程式是相对于平衡点来描述的。因此，可认为其初始条件为零。,不具备线性化的情况：,有一些非线性（如继电器特性）是不连续的，不能满足展开成泰勒级数的条件，就不能进行线性化，对于这类属于本质非线性问题要用非线性控制理论来解决。,2-3-1 传递函数的定义与特点,2-3-2 典型环节的传递函数,利用拉式变换，还可将线性微分方程转换为复数域的数学模型­-传递函数。 传递函数是对线性系统进行研究、分析与综合的基本数学工具。,2-3 传递函数,2-3-1 传递函数的定义与特点,系统的结构图,输入 的拉氏变换,零初始条件下,输出 的拉氏变换,传递函数的定义：,零初始条件下，系统输出量拉氏变换与系统输入量拉氏变换之比。,例5 求RLC电路的传递函数。,(1) 输入量,输出量,(2) 电路的微分方程,(3) 零初始条件下拉氏变换,(4) 传递函数,传递函数的一般表达式,n阶线性微分方程,零初始条件下拉氏变换,传递函数,传递函数的特点,传递函数只适用于线性定常系统，仅反映零初始条 件下的系统运动过程。,(2) 传递函数只与系统的结构和参数有关，与输入量的 形式和大小无关，反映系统的固有特性。,(3) 传递函数分母中的阶数n不小于分子中的阶数m。,(4) 传递函数的零点和极点,S = z1 , z2 ··· , zm, 传递函数的零点,S = p1 , p2 ··· , pn, 传递函数的极点,k, 零极点形式下的放大系数,传递函数分母多项式就是相应微分方程的特征多项式，传递函数的极点就是微分方程的特征根。,2-3-2 典型环节的传递函数,例6 齿轮传动,输入转速,输出转速,1、 比例环节,输入齿轮齿数,输出齿轮齿数,运动方程：,拉氏变换：,传递函数：,K 齿轮传动比,放大系数,增益,例7 运算放大器,输入电压,输出电压,拉氏变换后得传递函数,放大系数,电路方程：,比例环节的传递函数,比例环节方框图,比例环节特点,比例环节的单位阶跃响应,2、惯性环节,输入位移,输出位移,c为阻尼系数,k为弹簧刚度,拉氏变换得：,由牛顿定律：,传递函数为,为惯性环节的时间常数,本系统之所以成为惯性环节，是由于含有 弹性元件 k和阻性耗能元件c。,惯性环节的传递函数,惯性环节的方框图,惯性环节的微分方程,惯性环节的单位阶跃响应,3、振荡环节,输入量ur(t),输出量uc(t),微分方程：,例 R-L-C电路,拉氏变换并求传递函数,设,则,设,或写成,振荡环节环节的微分方程,振荡环节环节的传递函数,振荡环节环节的方框图,单位阶跃响应：,特点：,若输入为一阶跃信号， 其动态响应具振荡的 形式.,4、微分环节,例2-10 运放电路,输入电压,输出电压,电路方程：,零初始条件下的拉氏变换：,传递函数：,时间常数,（不考虑负号）,理想微分环节的运动方程,理想微分环节的传递函数,理想微分环节的方框图,理想微分环节的单位阶跃响应,理想微分环节，要求在瞬间能提供无限大的能源、系统中不存在惯性，这在实际中是不可能实现的。,实用微分环节,例2-11 机械-液压阻尼器,工作过程：,动力学方程：,油缸的力平衡方程,节流阀的流量,机械-液压阻尼器的微分方程,微分方程拉氏变换：,传递函数：,设,实用微分环节的 单位阶跃响应,特点:,输出量反映了输入量的 变化率，加快控制作用的实现。常用其改善系统动态性能。,例2-12 运算放大器,令,则,传递函数,若,比例微分环节,比例微分环节的 单位阶跃响应,特点:,输入为单位阶跃信号，输出中既含有与输入成正比的量，也包含反映输入信号变化趋势的信息。,5、积分环节,例2-13 运算放大器,微分方程：,传递函数：,积分环节的一般描述：,积分环节的微分方程：,积分环节的传递函数：,积分环节的单位阶跃响应,T,1,输出量与输入量对时间的积分成 正比，具有滞后作用和记忆功能.,特点:,6、延迟环节,例2-14 禽蛋检测分级系统,工作过程：,传递函数：,输入：,输出：,传递函数：,积分环节的单位阶跃响应,说明:,1、输出波形与输入波形相 同，但延迟了时间；,2、在一定条件下，延迟环节可 近似为惯性环节：,2-4 系统方框图,系统方框图是系统数学模型的图解形式，它表示出系统中各变量之间的数学关系及信号的传递过程。,2-4-1 方框图的基本构成,2-4-3 系统方框图的等效变换与化简,2-4-2 方框图的建立,例 画出图示RC电路的传递函数方框图。,初始微分方程组：,ur= Ri+ uc,拉氏变换：,I(s) = CSUc(s),Ur(s) = RI(s) + Uc(s),即,用方框表示各变量间关系,根据信号的流向，将各方框依次连接起来，即得系统的传递函数方框图。,由图可见，方框图的结构要素由四种基本符号构成：信号线、相加点、方框和分支点。,2-4-1 方框图的基本构成,传递函数方框,相加点,分支点,带箭头的线称为信号流线,2-4-2 方框图的建立,例2-16 画电机调速系统方框图,建立方框图的思路：,微分方程,拉氏变换,环节方框,系统方框,1. 比例放大器单元,2. 反相器单元,3.功率放大器单元,4.电动机单元,5.反馈单元,6. 比较环节,绘制传递函数框图步骤归纳为:,（1）确定系统中各元件或环节的传递函数。,（2）绘出各环节的方框，方框中标出其传递函 数、输入量和输出量。,（3）根据信号在系统中的流向，依次将各方框 连接起来。,画出系统方框图,I2(s)=C2sUc(s),I1(s)-I2(s)=C1sU1(s),2-4-3、系统方框图的等效变换与化简,方框图直观地展示出系统内部各变量之间的动态关系。但实际的控制系统，方框图的连接往往很复杂。为了便于系统的分析与计算，需要对复杂的方框图运用等效变换进行化简。,传递函数方框图的等效变换原理：,被变换部分的输入量和输出量之间的数学关系，在变换前后 保持不变。,1、 串 联,等效,2、 并 联,等效,3、反馈连接,等效,C (s) = E(s)G(s),4 相加点和分支点的移动,1) 综合点之间或引出点之间的位置交换,引出点之间的交换：,综合点之间交换：,a±c±b,相加点与相加点之间若无 分支点，则可任意交换。,分支点与分支点之间若无 综合点，则可任意交换。,2） 相加点相对方框的移动,R(s),前移：,C(s),后移：,3) 分支点相对方框的移动,R(s),前移：,C(s),后移：,2、相邻综合点可互换位置、可合并,结构图等效变换方法:,1、三种典型结构可直接用公式,3、相邻引出点可互换位置、可合并,注意事项：,1、不是典型结构不可直接用公式;,2、引出点综合点相邻，不可互换位置.,例：化简方框图并求传递函数,例 化简方框图,错！,无用！,向 同 类 移 动,2-5-1 系统的开环传递函数,2-5-2 系统的闭环传递函数,为研究控制系统的性能，所用主要的传递函数为：,2-5-3 系统的误差传递函数,2-5 反馈控制系统的传递函数,2-5-1 系统的开环传递函数,闭环控制系统的典型结构：,E(s),B(s),开环传递函数：,系统反馈量与误差信号的比值,2-5-2 系统的闭环传递函数,1、仅 作用时的闭环传递函数：,系统只有 作用时，系统的输出完全取决于在输入信号 作用下系统的闭环传递函数 以及 的形式。,1、仅 作用时的闭环传递函数：,+,仅干扰作用下的闭环传递函数：,仅有干扰作用下的总输出：,既有给定输入又有干扰作用下的总输出：,若系统参数满足：,总输出为：,误差为：,采用反馈控制的系统，适当配置元部件的结构参数，可获得较高的工作精度和很强的抑制干扰能力，同时又具备理想的复现、跟随指令输入的性能。,2-5-3 系统的误差传递函数,1、仅 作用时的误差传递函数：,前向通道:,_,反馈通道:,误差传递函数：,1、仅扰动 作用时的误差传递函数：,前向通道:,反馈通道:,+,误差传递函数：,例2-18求系统输出,1、仅 作用时：,作用下的传递函数：,方框图：,2、仅 作用时：,方框图：,下的传递函数：,3、仅 作用时：,方框图：,下的传递函数：,4、仅 作用时：,方框图：,下的传递函数：,系统的总输出：,