北京市第四中学高考调研卷文科数学试卷（一）---精品解析Word版

北京市第四中学高考调研卷文科数学试题本试卷分选择题和非选择题两部分，共20小题，满分150分. 考试用时120分钟.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合A=2,1,0,1,2，B=x|x24，则如图中阴影部分所表示的集合为（ ）A. 2,1,0,1B. 0C. 1,0D. 1,0,1【答案】D【解析】【分析】由图象可知阴影部分对应的集合为A(UB)，然后根据集合的基本运算求解即可【详解】由Venn图可知阴影部分对应的集合为A(UB)，B=x|x24=x|x2或x-2，A=-2,-1,0，1，2，UB=x|-2<x<2，即A(UB)=-1，0，1 故选：D【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用图象先确定集合关系是解决本题的关键，比较基础2.复数z=1i1+i的虚部是（ ）A.B. 1C. iD. 1【答案】D【解析】分析：化简复数z，写出它的虚部即可详解：复数z=1-i1+i=(1-i)21-i2=1-2i-11+1=i，z的虚部是1故选：D点睛：复数的运算，难点是乘除法法则，设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR)，则z1z2=(a+bi)(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i，z1z2=a+bic+di=(a+bi)(c-di)(c+di)(c-di)=(ac+bd)+(bc-ad)ic2+d2.3.一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为（ ）A. 136B. 34C. 36D. 14【答案】A【解析】分析：求出满足条件的正三角形ABC的面积，再求出满足条件正三角形ABC内的点到正方形的顶点A、B、C的距离均不小于2的图形的面积，然后代入几何概型公式即可得到答案详解：满足条件的正三角形ABC如下图所示：其中正三角形ABC的面积S三角形=34×16=43，满足到正三角形ABC的顶点A、B、C的距离至少有一个小于2的平面区域如图中阴影部分所示，则S阴影=2，则使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于2的概率是：P=1243=136，故选：A点睛：几何概型问题时，首先分析基本事件的总体， 再找所研究事件的区域，选择合适的度量方式，概率就是度量比，一般是长度、面积、体积.4.阅读如图所示的程序框图，若输入的值为，则输出的k值是（ ）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】B【解析】试题分析：由程序框图知第一次运行s=0+11×3，k=2；第二次运行s=0+11×3+13×5，k=3；第n次运行s=0+11×3+13×5+1(2n1)(2n+1)=12×(113+1315+12n112n+1) =12×(112n+1)=n2n+1，当输入a=817时，由n>a得n>8，程序运行了9次，输出的k值为10考点：程序框图.5.已知三棱柱HIGEFD的底面为等边三角形，且侧棱垂直于底面，该三棱柱截去三个角（如图所示，A，B，C分别是GHI三边的中点）后得到的几何体如图，则该几何体的侧视图为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 因为平面DEHG平面， 所以几何体的左视图为直角梯形，且直角腰在左视图的左侧，故选A6.中国古代数学著作算法统宗巾有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难 日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”问此人第4天和第5天共走了A. 60里B. 48里C. 36里D. 24里【答案】D【解析】【分析】每天行走的里程数an是公比为12的等比数列，且前6和为378，故可求出数列的通项an后可得a4+a5.【详解】设每天行走的里程数为an，则an是公比为12的等比数列，所以a1+a2+a6=a11126112=378，故a1=192（里），所以a4+a5=192×123+192×124=36（里），选C.【点睛】本题为数学文化题，注意根据题设把实际问题合理地转化为数学模型，这类问题往往是基础题.7.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，已知b=acosC+33sinC，a=2，c=263，则角C=（ ）A. 34B. 3C. 6D. 4【答案】D【解析】b=acosC+33sinC,由正弦定理可得sinB=sinAcosC+33sinAsinC，可得sinA+C=sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+33sinAsinC，cosAsinC=33sinAsinC，由sinC0，可得sinA=3cosA，tanA=3，由A为三角形内角，可得A=3,a=2,c=263，由正弦定理可得sinC=csinAa=22,由c<a，可得C=4，故选D.8.已知直线x2y+a=0与圆O：x2+y2=2相交于A，B两点（O为坐标原点），且AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为（ ）A. 6或6B. 5或5C. 6D. 5【答案】B【解析】直线x-2y+a=0与圆O：x2+y2=2相交于A，B两点（O为坐标原点），且AOB为等腰直角三角形，O到直线AB的距离为1，由点到直线的距离公式可得a12+22=1,a=±5.故选B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分9.若变量x，y满足不等式组xy+20,x5y+100,x+y80,则z=yx+2的最大值为_【答案】1【解析】z=yx+2表示x,y到2,0的斜率，由可行域可知，过点0,2或3,5时，斜率最大，即zmax=1。点睛：本题考查线性规划的应用。首先要正确表示可行域，特别是区域的判断，一般利用特殊点法。然后要掌握线性最值的求解，一般是直线平移，本题考查的几何性质是两点斜率，要掌握常见的几种几何性质。10.如图，有5个全等的小正方形，BD=xAE+yAF，则x+y的值是_【答案】1【解析】 由平面向量的运算可知BD=ADAB，而AD=2AE,AB=AH+HB=2AFAE， 所以BD=ADAB=2AE(2AFAE)=3AE2AF， 注意到AE,AF不共线，且BD=xAE+yAF， 即xAE+yAF=3AE2AF，所以x=3,y=2，即x+y=111.已知四棱锥PABCD的外接球为球O，底面ABCD是矩形，面PAD底面ABCD，且PA=PD=AD=2，AB=4，则球O的表面积为_【答案】643【解析】设球心为O，半径为R，O到底面的距离为h，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，侧面PAD是等边三角形，且有侧面PAD底面ABCD，四棱锥的高为3，底面矩形外接圆半径为5，5+h2=（3h）2+4，h=33，R2=5+h2=163，四棱锥P-ABCD的外接球表面积为4×163=643，故答案为643.12.如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，ABC外的地方种草，ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花，若BC=a，ABC=，设ABC的面积为S1，正方形PQRS的面积为S2，当a固定，变化时，则S1S2的最小值是_【答案】94【解析】S1S2=121+sincos2sin2=1+12sin2sin2=1sin2+14sin2+1，令t=sin2,0<<2,0<2<，则t=sin20,1，S1S2=1t+14t+1=gt,g't=1t2+14<0，函数gt在0,1上递减，因此当t=1时，gt有最小值，gtmin=g1=94，此时sin2=1,=4，当=4时，“规划合理度”最小，最小值为94，故答案为94.13.如图所示，格纸上小正方形的边长为1，粗实线和虚线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积是_【答案】24+51【解析】【分析】由已知中的三视图可得：该几何体为边长为2的正方体中挖去一个圆锥，数形结合可得答案【详解】解：该几何体直观图为边长为2的正方体中挖去一个如图所示的圆锥，该几何体的表面积为S6×22+×1×12+22-24+（5-1），故答案为：24+5-1【点睛】本题考查的知识点是由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键，属于中档题14.已知首项为2的数列an的前n项和Sn满足： Sn+122an+1=0nN*，记fn=an2n12n+311nN*，当fn取得最大值时， n的值为_【答案】8【解析】因为Sn+1-22an+1=0nN*，所以Sn+1=4an+2，所以S2=4a1+2.所以a2=3a1+2=8，因为an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1-4an，所以an+2-2an+1=2(an+1-2an)，所以数列an+1-2an是以为a2-2a1=4首项，公比为2的等比数列，所以an+1-2an=4×2n-1=2n+1，即an+12n+1-an2n=1，所以数列an2n是以1为首项，1为公差的等差数列，所以an2n=1+n-1=n，即an=n2n.所以fn=an2n-1-2n+31-1=-4n2+62n-1，因为对称轴n=628=7.75，所以当n=8时，fn取得最大值故答案为：8.点睛：求解数列中的最大项或最小项的一般方法：（1）研究数列的单调性，利用单调性求最值；（2）可以用anan+1anan1或anan+1anan1；（3）转化为函数最值问题或利用数形结合求解.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.设数列an的前n项之和为Sn=3n+1232，数列bn满足bn=1(2n1)log3a2n+1+32n1.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列bn前n项之和Tn.【答案】（1）an=3n ； （2）n2n+1+32n+1838.【解析】【分析】（1）利用递推关系，两式作差即可得出；（2）bn=1(2n-1)log332n+1+32n-1，利用“分组求和法”与“裂项求和”方法即可得出【详解】(1)当n1时，a1S13，由Sn=3n+12-32得Sn-1=3n2-32,(n2)anSnSn13n(n2)又a1也符合，an3n(nN)(2)bn=1(2n-1)log332n+1+32n-1=1(2n-1)(2n+1)+32n-1=12(12n-1-12n+1)+32n-1 所以Tn=12(1-13+13-15+12n-1-12n+1)+(3+32+35+32n-1) =12(1-12n+1)+3(1-9n)1-9=n2n+1+32n+18-38.【点睛】本题考查了“分组求和法”、“裂项求和”方法、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题1