2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义.ppt

平面向量的数量积,2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义,已知两个非零向量a和b，作OA=a， OB=b，则AOB= （0° 180°）叫做向量a与b的夹角。,O,B,A,向量的夹角,我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）,F,S,力F所做的功W可用下式计算 W=|F| |S|cos 其中是F与S的夹角,从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。,定 义,|a| cos（|b| cos）叫做向量a在b方向上（向量b在a方向上）的投影。,注意：向量的数量积是一个数量。,思考：,a·b=|a| |b| cos,当0° 90°时a·b为正；,当90° 180°时a·b为负。,当 =90°时a·b为零。,重要性质:,特别地,解：a·b = |a| |b|cos= 5×4×cos120° =5×4×（-1/2）= 10,例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角=120°，求a·b。,例2 已知a=(1,1),b=(2,0),求a·b。,解： |a| =2, |b|=2, =45 ° a·b=|a| |b|cos= 2×2×cos45 ° = 2,a·b的几何意义：,练习：,1若a =0，则对任一向量b ，有a · b=0,2若a 0，则对任一非零向量b ,有a · b0,3若a 0，a · b =0，则b=0,4若a · b=0，则a · b中至少有一个为0,5若a0，a · b= b · c，则a=c,6若a · b = a · c ,则bc,当且仅当a=0 时成立,7对任意向量 a 有,×,×,×,×,×,二、平面向量的数量积的运算律：,数量积的运算律：,注：,O,N,M,a+b,b,a,c,向量a、b、a + b在c上的投影的数量分别是OM、MN、 ON,证明运算律(3),例 3：求证：,（1）(ab)2a22a·bb2；,（2）(ab)·(ab)a2b2.,证明：（1）(ab)2(ab)·(ab),(ab)·a(ab)·b,a·ab·aa·bb·b,a22a·bb2.,证明：（2）(ab)·(ab)(ab)·a(ab)·b a·ab·aa·bb·b a2b2.,解:,3、用向量方法证明：直径所对的圆周角为直角。,如图所示，已知O，AB为直径，C 为O上任意一点。求证ACB=90°,分析：要证ACB=90°，只须证向 量 ，即 。,解：设 则 ， 由此可得：,即 ，ACB=90°,作业：,P108 A组 1, 2, 3 步步高,