13三角函数的诱导公式(一)课件(人教a版必修四)

1.3 三角函数的诱导公式(一),诱导公式,原点,x,-sin,-cos,tan,-sin,cos,-tan,sin,-cos,-tan,y,判断：(正确的打“”，错误的打“×”) (1)利用诱导公式二可以把第三象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数.( ) (2)利用诱导公式三可以把负角的三角函数化为正角的三角函数.( ) (3)利用诱导公式四可以把第二象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数.( ) (4)诱导公式二四两边的函数名称一致.( ) (5)诱导公式中的角只能是锐角.( ),提示：(1)正确.把看成锐角，则+就是第三象限的角. (2)正确.由sin(-)=-sin ,cos(-)=cos ,tan(-)= -tan 可知，当为正角时，此时可以把负角的三角函数化 为正角的三角函数表示. (3)正确.把看成锐角，则-就是第二象限的角. (4)正确.公式两边的三角函数名称没有改变. (5)错误.角不仅可以是锐角，还可以是任意角. 答案：(1) (2) (3) (4) (5)×,【知识点拨】 1.解读诱导公式一至诱导公式四 (1)学习诱导公式要抓住一个“诱”字.诱什么?怎样诱?为什么这么诱?若能清楚这些问题,自然就会循循善“诱”了.诱什么,就是诱角,即把+k·2(kZ),-,±中的任意角看作锐角；怎样诱,就是变角,角的变换为使用诱导公式创造了条件；为什么这么诱,就是为了得到我们所需要的角,或所需要的名,或最简的式.,(2)记忆诱导公式一至诱导公式四的口诀是“函数名不变,符号看象限”,其含义是公式两边的函数名称不变,符号则是将角看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.,2.诱导公式的实质 诱导公式揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系.换句话说，诱导公式实质是将终边对称的图形关系“翻译”成三角函数之间的代数关系.,类型 一 给角求值 【典型例题】 1.sin 585°的值为( ) 2.已知和的终边关于x轴对称，则下列各式中正确的是 ( ) A.sin =sin B.sin(-2)=sin C.cos =cos D.cos(-2)=-sin ,3.求下列三角函数值： (1) (2),【解题探究】1.如何将大于360°的角转化为锐角？ 2.终边关于x轴对称的两个角有何联系？ 3.已知角求值的关键是什么？ 探究提示： 1.先用公式一化为0°360°范围内的角，再利用公式二或公式四把角转化为锐角. 2.若两角终边关于x轴对称，则这两角的余弦值相等. 3.利用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角(一般为特殊角)的三角函数.,【解析】1.选A.sin 585°=sin(360°+225°) =sin 225°=sin(180°+45°) 2.选C.和的终边关于x轴对称，故的终边与-的终边 相同，所以cos =cos(-)=cos .,【拓展提升】利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤,【变式训练】计算 的值为( ) 【解析】选C.,类型 二 给值求值 【典型例题】 1.已知 且是第四象限角，则cos(-2)的值 是( ) 2.已知 则 的值等于( ) 3.已知 的值,【解题探究】1.第四象限角的三角函数值的符号如何？ 2.同角的三角函数有怎样的平方关系？ 3. 这两个角分别与角 有怎样的关系？ 探究提示： 1.第四象限角的三角函数值只有余弦值为正，其余皆为负. 2.sin2+cos2=1. 3.,【解析】1.选B.因为 所以 又是第四象限角， 所以 所以 2.选C.因为 且 所以,3.因为 所以,【互动探究】若题3中条件不变，如何求 的值？ 【解析】因为 所以 又因为 所以,【拓展提升】解决条件求值问题的策略 (1)解决条件求值问题,首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系. (2)可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转化.,【变式训练】若P(-4,3)是角终边上一点， 则 的值为_. 【解析】由已知得 答案：,类型 三 利用诱导公式进行化简、求值 【典型例题】 1.化简sin2(-)-cos(+)cos(-)+1，结果为( ) A.1 B.2 C.0 D.2sin2 2.化简：(1) (2),【解题探究】1.三角函数式本着什么样的思路化简？ 2.怎样处理含有k±的角？ 探究提示： 1.总体思路是利用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角三角函数. 2.含有k±形式的角的三角函数化简时，需对k分是奇数还是偶数讨论，确认选用的公式.,【解析】1.选B.sin2(-)-cos(+)cos(-)+1 =sin2+cos2+1=2. 2.(1)原式 (2)当k为偶数时，原式,当k为奇数时，原式,【拓展提升】三角函数式化简的常用方法 (1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化 为角的三角函数. (2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数. (3)注意“1”的应用：,【变式训练】化简：sin(-)cos(+)tan(-)_. 【解析】原式=-sin (-cos )(-tan ) 答案：-sin2,【拓展类型】条件等式的证明 【典型例题】 1.设 求证： 2.已知sin(+)=1. 求证：tan(2+)+tan =0.,【证明】1.左边 所以原式成立.,2.因为sin(+)=1,所以 故 所以 =tan(4k+-)+tan =tan(-)+tan =-tan +tan =0, 所以tan(2+)+tan =0得证.,【拓展提升】证明条件等式的两种方法 (1)代入法：从被证等式一边推向另一边的适当时候，将条件代入，推出被证式的另一边. (2)推出法：直接将条件等式变形，变形为被证的等式.,【易错误区】利用诱导公式求值忽略符号致误 【典例】已知 则sin(2+)=_. 【解析】由cos(+)=-1得，+=2k+(kZ) 则2+=+(+)=+2k+(kZ)， 所以sin(2+)=sin(+2k+) 答案：,【误区警示】,【防范措施】 1.已知条件的充分挖掘 探寻所求的值与已知条件的联系，如本例中2+=(+)+. 2.诱导公式的准确记忆 在运用公式时特别注意符号，如本例中的转化sin(+) =-sin .,【类题试解】已知 =_. 【解析】因为 所以 答案：,1.tan 690°的值为( ) 【解析】选A.tan 690°=tan(720°-30°),2.已知 的值为( ) 【解析】选C.,3.如果，满足+=，那么下列式子中正确的个数是 ( ) sin =sin ；sin =-sin ；cos =-cos ； cos =cos ；tan =-tan . A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选C.+=，则=-，从而sin =sin ， cos =-cos ，tan =-tan .,4.化简： =_. 【解析】原式 答案：cos 20°-sin 20°,5. 从小到大的顺序是_ 【解析】因为 答案：,6.已知 的值. 【解析】,