2015数模幻灯片-微分方程建模

数学建模交流,主讲人：刘红良,报告提要,4/19/2019,2,一、 数学建模简介,二、微分方程模型,三、灰色预测,四、层次分析法,数学建模 报告提要,一、数学建模简介-建模思想,小学建模,灯笼问题：从左边数第17盏、第18盏和第100盏灯笼是什么颜色？,建模思想,大学建模 微分应用求曲线斜率，变速运动的速度，极值等。 积分应用求重心，转动惯量，引力等。 材料学科热障涂层工作：周校长、杨丽等（网格划分，有限元建模），周校长，刘奇星，毛卫国等（预测方法），马增胜等（量纲分析） 困惑：重方法，轻应用。,建模流程,参考书目,综合型 数学模型，姜启源编。数学建模算法及应用。 优化及数值计算模型 运筹学。最优化方法。数值分析。 预测模型 灰色预测。时间序列分析。回归分析。神经网路。 评价模型 模糊数学。 概率模型 多元统计分析。随机过程。,二、微分方程建模,变量的变化率或导数及变量之间的关系式就是微分方模型。微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。 求解微分方程有三种方法： 1）求精确解；2）求数值解（近似解）；3） 定性理论方法。,三种微分方程建模方法,1、微元法变化量相等 从问题的不同角度分析找出相应变量的变化量相等建立微分方程。 如：半球形容器, 水从它的底部小孔流出， 容器里水面的高度 h 随 时间 t 的变化规律。,三种微分方程建模方法,2、根据规律列方程 利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。 如：求电流 的变化规律。 原理：在闭合回路中, 所有支路上 的电压降为 0。,三种微分方程建模方法,3、模拟近似法 在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。,一、人口模型,问题的提出 假设和定义 模型的建立 分析和求解 结论和讨论,2019/4/19,1 问题的提出,人口问题是当今世界上最令人关注的问题之一，一些发展中国家的人口出生率过高，越来越威胁着人类的正常生活，有些发达国家的自然增长率趋于零，甚至变为负数，造成劳动力紧缺，也是不容忽视的问题。另外，在科学技术和生产力飞速发展的推动下，世界人口以空前的规模增长，统计数据显示：,可以看出，人口每增长十亿的时间，由一百年缩短为十二三年。我们赖以生存的地球，已经带着它的60亿子民踏入了21世纪。 长期以来，人类的繁衍一直在自发地进行着。只是由于人口数量的迅速膨胀和环境质量的急剧恶化，人们才猛然醒悟，开始研究人类和自然的关系，人口数量的变化规律，以及如何进行人口控制等问题。,2019/4/19,我国是世界第一人口大国，地球上每九个人中就有二个中国人，在20世纪的一段时间内我国人口的增长速度过快，如下表：,有效地控制人口的增长，不仅是使我国全面进入小康社会、到21世纪中叶建成富强民主文明的社会主义国家的需要，而且对于全人类社会的美好理想来说，也是我们义不容辞的责任。,认识人口数量的变化规律，建立人口模型，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提，下面介绍两个最基本的人口模型。,2. 模型1 (Malthus模型) 18世纪末，英国人Malthus在研究了百余年的人口统计资料后认为，在人口自然增长的过程中，净相对增长率（出生率减去死亡率为净增长率）是常数。,返回,这个模型可以与19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据很好地吻合，但是当后来人们用它与19世纪的人口资料比较时，却发现了相当大的差异。人们还发现，迁往加拿大的法国移民后代的人口比较符合指数增长模型。而同一血统的法国本土居民人口的增长却与指数模型大相径庭。,分析表明，以上这些现象的主要原因是随着人口的增长，自然资源，环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著。人口较少时，人口的自然增长率基本上是常数，而当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口的增加而减少。因此，我们将对指数模型关于净相对增长率是常数的基本假设进行修改。,2.5 模型修改,返回,2019/4/19,这个模型称为Logistic模型，其结果 经过计算发现与实际情况比较吻合。 图：,2019/4/19,后续发展离散形式 数据,2019/4/19,后续发展连续形式,设警方对司机饮酒后驾车时血液中酒精含量的规定为不超过80%(mg/ml). 现有一起交通事故,在事故发生3个小时后,测得司机血液中酒精含量是56%(mg/ml), 又过两个小时后, 测得其酒精含量降为40%(mg/ml),试判断: 事故发生时,司机是否违反了酒精含量的规定?,练习：酒精含量的测定,二 传染病模型,问题,描述传染病的传播过程,分析受感染人数的变化规律,预报传染病高潮到来的时刻,预防传染病蔓延的手段,按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型,已感染人数 (病人) i(t),每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为,模型1,假设,若有效接触的是病人，则不能使病人数增加,建模,?,模型2,区分已感染者(病人)和未感染者(健康人),假设,1）总人数N不变，病人和健康 人的 比例分别为,2）每个病人每天有效接触人数为, 且使接触的健康人致病,建模, 日 接触率,SI 模型,模型2,tm传染病高潮到来时刻, (日接触率) tm,病人可以治愈！,?,t=tm, di/dt 最大,模型3,传染病无免疫性病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染,增加假设,SIS 模型,3）病人每天治愈的比例为, 日治愈率,建模, 日接触率,1/ 感染期, 一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。,模型3,接触数 =1 阈值,感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数,模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例,模型4,传染病有免疫性病人治愈后即移出感染系统，称移出者,SIR模型,假设,1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为,2）病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数 = / ,建模,需建立 的两个方程,模型4,SIR模型,模型4,SIR模型,相轨线 的定义域,在D内作相轨线 的图形，进行分析,模型4,SIR模型,相轨线 及其分析,s(t)单调减相轨线的方向,P1: s01/ i(t)先升后降至0,P2: s01/ i(t)单调降至0,1/阈值,模型4,SIR模型,预防传染病蔓延的手段, (日接触率) 卫生水平,(日治愈率) 医疗水平,传染病不蔓延的条件s01/, 的估计,降低 s0,提高 r0,提高阈值 1/,模型4,SIR模型,被传染人数的估计,记被传染人数比例, 小, s0 1,提高阈值1/降低被传染人数比例 x,s0 - 1/ = ,如果参数是常数常用最小二乘法 如果参数是变量常用拟合方法,模型参数确定的方法,传染病模型发展 Eradicating Ebola（2015年美赛A）,弹簧振荡问题 原理：牛顿第二定律+胡克定理,三 物理规律建模方法,当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态,质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解:,阻力的大小与运动速度,下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向,物体在弹性力与阻,取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.,设时刻 t 物体位移为 x(t).,(1) 自由振动情况.,弹性恢复力,物体所受的力有:,(虎克定律),成正比, 方向相反.,建立位移满足的微分方程.,据牛顿第二定律得,则得有阻尼自由振动方程:,阻力,(2) 强迫振动情况.,若物体在运动过程中还受铅直外力,则得强迫振动方程:,四 模拟近似建模方法 以艾滋病治疗疗效预测（2006B）为例,艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一，从1981年发以来的20多年间，它已经吞噬了近3000万人的生命。 艾滋病的医学全名为“获得性免疫缺损综合症“，英文简称AIDS，它是由艾滋病毒（医学全名为“人体免疫缺损病毒“, 英文简称HIV）引起的。这种病毒破坏人的免疫系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命。人类免疫系统的CD4细胞在抵御HIV的入侵中起着重要作用，当CD4被HIV感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV将迅速增加，导致AIDS发作。,湘潭大学数学与计算科学学院,47,艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效地降低CD4减少的速度，以提高人体免疫能力。 迄今为止人类还没有找到能根治AIDS的疗法，目前的一些AIDS疗法不仅对人体有副作用，而且成本也很高。许多国家和医疗组织都在积极试验、寻找更好的AIDS疗法。 问题： 利用附件1的数据，预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间。,湘潭大学数学与计算科学学院,48,PtID CD4Date CD4Count RNADate VLoad 23424 0 178 0 5.5 23424 4 228 4 3.9 23424 8 126 8 4.7 23424 25 171 25 4 23424 40 99 40 5 23425 0 14 0 5.3 23425 4 62 4 2.4 23425 9 110 9 3.7 23425 23 122 23 2.6 23425 40 320 23426 0 101 0 4.5 23426 4 151 4 1.7 23426 8 115 8 1.7 23426 26 149 26 2.8 23426 46 120 46 3.4 23426 54 141,数据,求解思路：,第一步：先对个体数据连续化后，再描述总体数据的变化趋势。,表1 附件一编号23424号病人信息,对上表数据线性插值,然后对个体每周数据求和取平均值得到总体的数据。,选取近似微分方程,我们模仿传染病的原理，运用推广的Logistic模型1。,模型参数确定最小二乘法,模型参数确定,数值结果,五 微分方程平衡点理论及建模,在研究许多实际问题时，人们最为关心的也许并非系统与时间有关的变化状态，而是系统最终的发展趋势。例如，在研究某频危种群时，虽然我们也想了解它当前或今后的数量，但我们更为关心的却是它最终是否会绝灭，用什么办法可以拯救这一种群，使之免于绝种等等问题。要解决这类问题，需要用到微分方程或微分方程组的稳定性理论。下面，我们将研究几个与稳定性有关的问题。,稳定性模型的特点,对象仍是动态过程，而建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势 平衡状态是否稳定。,不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。,一阶常微分方程的平衡点及其稳定性,一阶非线性（自治）方程,F(x)=0的根x0 微分方程的平衡点(或奇点)。它也是方程(1)的解.,一阶微分非线性方程,不求x(t), 判断x0稳定性的方法直接法,由于,讨论方程(1)的稳定性时，可用,来代替.即,(1)的近似线性方程,易知 x0也是方程(2)的平衡点. (2)的通解为,关于x0是否稳定有以下结论：,六 捕鱼业的持续收获,再生资源应适度开发在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益。,背景,资源分为再生资源（林业、渔业等）和非再生资源（矿业等）。,考察一个渔场，其中的鱼量在天然环境下按一定规律增长，如果捕捞量恰好等于增长量，那么渔场鱼量将保持不变，这个捕捞量就可以持续。 希望建立在捕捞情况下渔场鱼量遵从的方程，分析鱼量稳定的条件，并且在稳定的前提下如何控制捕捞使持续产量或经济效益达到最大？,问题及 分析,在捕捞量稳