四川省2019届高三下学期入学考试数学（理工类）试题

四川省成都外国语学校20182019学年春季学期高2016级入学测试数学（理工类）试题第卷一、 选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合，则的元素有（ ）、个、个、个、个2. 已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ）、3. 已知双曲线的渐近线方程为，且经过点，则的方程为（ ）、4. 函数有且只有一个零点的充分不必要条件是（ ）、或5. 已知函数，且，则函数的图象的一条对称轴是（ ）、6. 某几何体的正视图和侧视图如图所示，它的俯视图的直观图是，如图所示，其中，则该几何体的表面积为（ ）、7. 已知圆：和两点、（），若圆上存在点，使得，则的最大值为（ ）、8. 如果执行如下框图，则输出的数与输入的的关系是（ ）、9. 如上图，已知点是的重心，过点作直线与、两边分别交于、两点，且、，则的值为（ ）、10. 已知函数，其在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）、11. 如上图，抛物线的一条弦经过焦点，取线段的中点，延长至点，使的，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，则的最小值为（ ）、12. 若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）、第卷二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上）13. 某班级有名学生，现要采取系统抽样的方法在这名学生中抽出名学生，将这名学生随机编号号，并分组，第一组号，第二组号，第十组号，若在第三组中抽得号码为的学生，则在第八组中抽得号码为_的学生。14. 若，则_15. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为_16. 在中，记内角、所对边的分别为、，已知是边的中点，且，则面积为_三、 解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）(一) 必考题17. 已知数列的前项和为，且、成等差数列，。（）求数列的通项公式；（）若数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值。18. 如图，点是菱形所在平面外一点，且平面，。（）求证：平面平面；（）求二面角的余弦值。19. “大众创业，万众创新”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号，某生产企业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据（），如表所示：试销单价（元）456789产品销量（件）8483807568已知。（）求出的值；（）已知变量，具有线性相关关系，求产品销量（件）关于试销单价（元）的线性回归方程；（）用表示用（）中所求的线性回归方程得到的与对应的产品销量的估计值当销售数据对应的残差的绝对值时，则将销售数据称为一个“好数据”现从6个销售数据中任取3个，求“好数据”个数的分布列和数学期望。（参考公式：线性回归方程中，的最小二乘估计分别为，）20. 已知椭圆：（）的离心率，过焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长度为。（）求椭圆的方程；（）动直线与椭圆交于、两点，在平面上是否存在定点，使得当直线与直线的斜率均存在时，斜率之和是与无关的常数？若存在，求出所有满足条件的定点的坐标；若不存在，请说明理由。21. 设函数，其中。（）讨论的单调性；（）若函数存在极值，对于任意的，存在正实数，使得，试判断与的大小关系，并给出证明。(二) 选考题请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上。22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（），且曲线与直线有且仅有一个公共点。（）求；（）设、为曲线上的两点，且，求的最大值。23. 选修4-5：不等式选讲已知函数的最大值（）。（）求的值；（）若（，），试比较与的大小。四川省成都外国语学校20182019学年春季学期高2016级入学测试数学（理工类）参考答案题：题：题：题：题：题：题：题解析：（1）因为，成等差数列，所以，·····································2分所以，得，所以············································4分又当时，所以，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列，所以，即···········································································6分（2）根据（1）求解知，所以，所以数列是以为首项，为公差的等差数列····························································7分又因为，···················································································9分所以······························································12分题解析：（）证明：取中点，连交于，连，在菱形中，平面，平面，又，平面，平面，·····································3分，分别是，的中点，又，四边形是平行四边形，则，平面，又平面，平面平面····························································6分（）解：由（）得平面，则，两两垂直，以，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，··············· ··················· ·········7分设是平面的一个法向量，则即，设是平面的一个法向量，同理得，········· ··· · ····10分，二面角的余弦值为·······12分题解析：（），可求得·· ············································· ····2分（），所以所求的线性回归方程为··································································7分（）利用（）中所求的线性回归方程可得：当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，与销售数据对比可知满足（1,2，6）的共有3个“好数据”：、于是的所有可能取值为，；，的分布列为：0123于是·················································12分题解析：（1）设椭圆的半焦距为c，则，且由解得，依题意，于是椭圆的方程为·······4分（2）设，设，与椭圆方程联立得则有···························6分直线PA,PB的斜率之和·······································9分当时斜率的和恒为0，解得11分综上所述，所有满足条件的定点P的坐标为或12分题解析：解：（1）函数f(x)的导函数2分情形一：a0此时，于是f(x)在上单调递增；3分情形二a>0此时f(x)在上单调递增，在上单调递减4分（2）函数f(x)存在极值，因此a>0根据题意，有5分而6分故只需要比较与的大小令，则当时，故在(1,)上单调递增因此，当时，于是，即于是10分又在上单调递减，因此进而12分题解析（）直线的普通方程是，曲线的直角坐标方程是，依题意直线与圆相切，则，解得或，因为，所以5分（）如图，不妨设，则，所以，即，时，最大值是10分题解析：（）由于的最大值为，故.5分（），且，当且仅当，即，等号成立所以.10分12