湖南省郴州市2019届高三第二次教学质量监测数学试题（理科）（含精品解析）

郴州市2019届高三第二次教学质量监测试卷数学（理科）第卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据对数不等式得到集合N的元素，再由集合的补集得到 ，再根据集合的交集得到结果.【详解】集合，解不等式得到 全集， ，根据集合的交集得到结果为：.故答案为：B.【点睛】这个题目考查了集合的交集和补集的计算，题目比较简单.2.已知复数满足，则复数在复平面内对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算得到，进而得到对应的点坐标.【详解】复数满足，,对应点为，在第一象限.故答案为：A.【点睛】在复平面上，点和复数 一一对应，所以复数可以用复平面上的点来表示，这就是复数的几何意义复数几何化后就可以进一步把复数与向量沟通起来，从而使复数问题可通过画图来解决，即实现了数与形的转化由此将抽象问题变成了直观的几何图形，更直接明了3.已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为（ ）A. 240，18B. 200，20C. 240，20D. 200，18【答案】A【解析】【分析】利用统计图结合分层抽样性质能求出样本容量，利用条形图能求出抽取的户主对四居室满意的人数【详解】样本容量为：（150+250+400）×30%240，抽取的户主对四居室满意的人数为：故选：A【点睛】本题考查样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意统计图的性质的合理运用4.已知函数，则（ ）A. B. C. 1D. 7【答案】C【解析】【分析】根据分段函数的解析式得到，将x=1代入解析式第一段即可得到答案.【详解】函数，则故答案为：C.【点睛】解决分段函数求值问题的策略:(1)在求分段函数的值f(x0)时，一定要首先判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式;(2)分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其对应法则也不同的函数，分段函数是一个函数，而不是多个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，故解分段函数时要分段解决;(3)求f(f(f(a)的值时，一般要遵循由里向外逐层计算的原则。5.在中，点满足，则等于（ ）A. 10B. 9C. 8D. 7【答案】D【解析】【分析】根据平面向量运算的三角形法则以及平面向量基本定理得到 ，再由向量的点积运算得到结果.【详解】根据平面向量的三角形法则以及平面向量基本定理得到 故答案为：D.【点睛】这个题目考查的是向量基本定理的应用；向量的点积运算。解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底。6.若实数满足，如果目标函数的最大值为3，则实数的值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】根据不等式组画出可行域，由图像得到目标函数的最值.【详解】根据不等式组画出可行域得到：目标函数,变形为：，根据图像得到当目标函数过直线和的交点时，取得最大值，交点坐标为代入得到 故答案为：A.【点睛】利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域;(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）;(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解;(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.7.下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据三视图得到原图是，边长为2的正方体，挖掉八分之一的球，以正方体其中一个顶点为球的球心。【详解】根据三视图得到原图是，边长为2的正方体，挖掉八分之一的球，以正方体其中一个顶点为球的球心，故剩余的体积为： 故答案为：B.【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.8.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的结果是（ ）A. -2018B. 2018C. 1009D. -1009【答案】D【解析】【分析】根据程序框图，依次进入循环，直到不满足判断框的条件为止.【详解】根据程序框图得到，S=0,n=1，满足判断框的条件，进入循环S=0+1,n=2, 满足判断框的条件，进入循环S=0+1-2，n=3, 满足判断框的条件，进入循环S=0+1-2+3,n=4, 满足判断框的条件，进入循环S=1-2+3-4+5-6.-2016+2017,n=2018, 满足判断框的条件，进入循环S=1-2+3-4+5-6.-2016+2017-2018,n=2018,不满足判断框的条件，退出循环，输出s值得到S=1-2+3-4+5-6.-2016+2017-2018=-1009.故答案为：D.【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题9.已知点在抛物线的准线上，为的焦点，过点的直线与相切于点，则的面积为（ ）A. 1B. 2C. D. 4【答案】B【解析】【分析】根据题中条件可得到抛物线方程，由直线和抛物线相切得到切点N的坐标，进而求得面积.【详解】点在抛物线的准线上,可得到p=2,方程为：，切点N（x,y）,满足，过点的直线设为和抛物线联立得到，取k=1,此时方程为 的面积为: 故答案为：B.【点睛】这个题目考查了直线和抛物线的位置关系，当直线和抛物线相切时，可以联立直线和抛物线，使得判别式等于0，也可以设出切点坐标求导得到该点处的斜率.10.已知函数的最大值为，若存在实数，使得对任意实数总有成立，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的两角和差公式得到 ，进而可以得到函数的最值，区间(m,n)长度要大于等于半个周期，最终得到结果.【详解】函数 则函数的最大值为2，存在实数，使得对任意实数总有成立，则区间(m,n)长度要大于等于半个周期，即 故答案为：B.【点睛】这个题目考查了三角函数的两角和差的正余弦公式的应用，以及三角函数的图像的性质的应用，题目比较综合.11.已知 ，若，且使的最大值为，（，），则的最小值为（ ）A. 4B. 2C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据集合A和B得到集合元素所表示的区域，z表示的是点P（x,y）到点的距离的平方，再减去6，减去a，根据圆的几何意义得到点P（x,y）到点的距离的最小值是点到圆心的距离再加半径，列出式子，最终根据均值得到结果.【详解】根据集合A和B得到两个集合的元素，指的是如下图所示的阴影部分所包含的点， 表示的是点P（x,y）到点的距离的平方，再减去6，减去a,根据圆的几何意义得到点P（x,y）到点的距离的最小值是点到圆心的距离再加半径，由两点间距离公式得到：， 故答案为：C.【点睛】这个题目考查的是线性规划中的知识的应用，利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。12.已知双曲线的左、右焦点分别为、，、分别是双曲线左、右两支上关于坐标原点对称的两点，且直线的斜率为.、分别为、的中点，若原点在以线段为直径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据、分别为、的中点，故OM平行于,ON平行于，再由向量点积为0得到四边形是矩形，通过几何关系得到点A的坐标，代入双曲线得到齐次式，求解离心率.【详解】因为、分别为、的中点，故OM平行于,ON平行于，因为原点在以线段为直径的圆上，根据圆的几何性质得到OM垂直于ON，故得到垂直于，由AB两点关于原点对称得到，四边形对角线互相平分，所以四边形是矩形，设角,根据条件得到， 将点A代入双曲线方程得到： 解得 故答案为：C.【点睛】本题考查双曲线的几何性质及其应用，对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出，代入公式；只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围).第卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题第（23）题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.的展开式中的系数是_【答案】45【解析】【分析】依据条件写出第项，再由特定项的次数列出方程，求出值，进而得到系数.【详解】的展开式中 令 系数为故答案为：45.【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.14.在中，且的面积为，则_【答案】【解析】【分析】根据三角形面积公式得到再由余弦定理得到AC长.【详解】在中，且的面积为，由正弦定理的面积公式得到：再由余弦定理得到 故得到.故答案为：.【点睛】本题主要考查余弦定理的应用以及三角形面积公式;在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.15.已知四棱锥中，底面是矩形，是等边三角形，且平面平面，若四棱锥的外接球的表面积为，则_【答案】4【解析】【分析】利用外接球的表面积为28，求出四棱锥PABCD的外接球的半径，由提圆心的方法得到球心，再利用勾股定理，建立方程，即可求出AD【详解】面PAB的外接圆的圆心是N，将圆心