【100所名校】2019届高三9月模块诊断数学试题（解析版）

1 2019 届山西大学附属中学高三 9 月模块诊断数学试题 数数学学 注注意意事事项项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的 非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、单选题一、单选题 1设集合，则 A B C D 2下列函数中，满足“对任意，当时，都有”的是 A B C D 3函数的单调递增区间是 A B C D 4函数的零点个数为 A 0 B 1 C 2 D 3 5设曲线在点处的切线与直线垂直，则 A B C D 6在ABC 中，“A30°”是“sinA ”的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 7已知下列不等式中恒成立的 是 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 8，则 A 1-a B C a-1 D -a 9如果方程 lg2x+(lg5+lg7)lgx+lg5·lg7=0 的两根是 、，则 · 的值是 A lg5·lg7 B lg35 C 35 D 10已知函数 f(x)=log2(x+1)且 abc0, 则,的大小关系是 A B C D 2 11已知函数，当时，取得最小值 ，则函数的图象为 12已知定义在 R 上的函数满足且在上是增函数，不等式对任意 恒成立，则实数 的取值范围是 A B C D 二、填空题二、填空题 13函数，的单调递减区间为_ 14设是定义在 上的奇函数，且当时，若对任意，不等式恒 成立，则实数 的取值范围是 15定义在 上的函数的图像关于对称，且当时，（其中是的 导函数），若 ， 则的大小关系是_ 16已知函数的定义域为，部分对应值如下表.的导函数的图象如图所示. x1045 1221 下列关于函数的命题： 函数是周期函数；函数在上是减函数；如果当时的最大值是 2，那么 的最大值为 4；当时，函数有 4 个零点.其中真命题的序号 是_. 三、解答题三、解答题 17（1）已知,求值; （2）若，求值. 18在中，角的对边分别为且. (1)求; (2)若，求的面积. 19已知函数 f(x)在(1，1)上有定义，当且仅当 0 故选：B 【点睛】 本题考查了对数函数的图象，数形结合判断函数单调性的方法，利用单调性比较大小，转化化归的思想 方法 11B 【解析】 试题分析：因为，所以，则 （当且仅当，即时取等号），即 ，即，则在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最大值 1；故选 B 考点：1.基本不等式；2.函数的图象与性质 12B 【解析】 【分析】 根据函数的对称性判断函数的单调性，采取排除法，由四个选项的特征代入特值求解 【详解】 ，则函数关于对称 函数在上是增函数 函数在是减函数，即在上是减函数 当时，不等式变为， 根据函数的图象特征可得出：， 4 解得或，满足不等式对任意恒成立，由此排除两个选项 当时，不等式变为， 根据函数的图象特征可得出：， 解得，不满足不等式对任意恒成立，由此排除 综上所述， 选项是正确的 故选 【点睛】 本题主要考查了抽象函数的性质探究方法与应用，解答本题直接求解较为复杂，采取排除法来求解，由 四个选项中的特征找出切入点，通过验证特殊值来排除错误答案。 13 【解析】 试题分析：，令，则， 正弦函数在上单调递增，由得： 函数在的单调递增区间为 考点：正弦函数的单调性 14 【解析】 试题分析：利用函数奇偶性和单调性之间的关系，解不等式即可 解：当 x0 时，f（x）=x2， 此时函数 f（x）单调递增， f（x）是定义在 R 上的奇函数， 函数 f（x）在 R 上单调递增， 若对任意 xa，a+2，不等式 f（x+a）f（3x+1）恒成立， 则 x+a3x+1 恒成立， 即 a2x+1 恒成立， xa，a+2， （2x+1）max=2（a+2）+1=2a+5， 即 a2a+5， 解得 a5， 即实数 a 的取值范围是（，5； 故答案为：（，5； 考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的性质 15 【解析】 【分析】 由 y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，得到 f（x）关于原点对称，即函数 f（x）为奇函数，然后构 造函数 g（x）=xf（x），利用导数判断函数 g（x）的单调性，然后比较大小即可 【详解】 函数 y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称， f（x）关于原点对称，即函数 f（x）为奇函数 设 g（x）=xf（x），则 g（x）为偶函数， 5 当 x（-，0）时，g'（x）=f（x）+xf（x）0，此时函数单调递减， 当 x（0，+）时，函数 g（x）单调递增 则 a=g（30.3）=（30.3）f（30.3）， b=g（）=， 即 230.31，01， 230.3， g（2）g（30.3）g（）， 即 cab 即答案为. 【点睛】 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，以及利用导数研究函数的单调性问题，利用条件构造函数是 解决本题的关键，综合性较强 16 【解析】 【分析】 由周期函数的定义可知不正确；由在0，2上导函数为负知正确；由 f（x）=a 知，极小值 f（2）未知，无法判断函数 y=f（x）-a 有几个零点，依照相应理论即可判断 【详解】 ：由周期函数的定义可知不正确； 因为在0，2上导函数为负， 故函数 f（x）在0，2上是减函数，故正确； 由表中数据可得当 x=0 或 x=4 时，函数取最大值 2， 若 x-1，t时，f（x）的最大值是 2，那么 0t5，故 t 的最大值为 5，即错误； 由 f（x）=a 知，因为极小值 f（2）未知， 所以无法判断函数 y=f（x）-a 有几个零点，故不正确； 【点睛】 本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系二者之间的关系是：导函数为正，原函数递增；导 函数为负，原函数递减 17（1） ； （2）. 【解析】 【分析】 （1）原式分母看做“1”，利用同角三角函数间的基本关系化简，将 tan 的值代入计算即可求出值 （2）由已知条件推导出，求出 由此能求出的值 【详解】 （1）， （2） 而， 6 由此可得 【点睛】 本题考查齐次式的求法，考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质和运算法 则的合理运用 18(1)；(2). 【解析】 试题分析：(1)利用正弦定理得到，然后化简得到，从而求 出，再由同角三角函数的基本关系式可求出；(2)由余弦定理得，结合 ，求出 的值，利用三角形的面积计算公式得到三角形的面积. 试题解析：(1)在中，由正弦定理可得 又因为，所以 即 又，所以 ，又因为 ，又因为 (2)由余弦定理得，将代入得 又，故 . 考点：1.正弦定理；2.余弦定理；3.同角三角函数的基本关系式；4.三角形的面积计算公式. 19（1）见解析； （2）见解析. 【解析】 【分析】 （1）令 x=y=0 可得 f（0）=0，令 y=-x，可得 f（-x）=-f（x），故得证；（2）由单调性的定义，任取 x1，x2（-1，1），且 x1x2，由性质可得可得 f(x2)f(x1)=f(x2)+f(x1)=f(，由已知可判 f() 0,1x1x20，0, 又(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1)0，x2x11x2x1, 01,由题意知 f()0， 即 f(x2)f(x1) f(x)在(0，1)上为减函数，又 f(x)为奇函数且 f(0)=0 f(x)在(1，1)上为减函数 【点睛】 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断与证明，给 x，y 赋值是解决问题的关键，属基础题 20（1）或； （2）. 【解析】 【分析】 （1）因为 f（x）的定义域为 R，所以对数的真数一定大于 0 恒成立，讨论二次项系数为 0 不成立，系数 不为 0 时，得到系数大于 0 且根的判别式小于 0 求出 a 的范围即可； （2）因为函数值域为 R，讨论二次项系数为 0 时，不成立，系数不为 0 时，让系数大于 0 且根的判别式大于 等于 0 求出 a 的范围即可 【详解】 （1）设的定义域为 R，恒成立， 当时，即或，满足题意，（舍去） 当，解得或 综上或. （2）当时，即或，满足题意 ，得 综上. 【点睛】 本题考查学生理解对数函数定义域和值域的能力，以及理解函数恒成立条件的能力 21或. 【解析】 【分析】 由于 x=0 为 f（x）的极值点，可得 f（0）=0，得到 a=0当 a=0 时， ,整理得令，利用导数研究其单 调性极值即可得出 【详解】 因为， 所以， 因为为的极值点,所以由 ,解得， 检验,当时,当时, ,当时,. 所以为的极值点,故 当时, 8 不等式 , 整理得, 即或， 令，,， 当时,；当时,， 所以在单调递减，在单调递增，所以， 即,所以在 上单调递增,而； 故；， 所以原不等式的解集为或 【点睛】 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了利用单调性解不等式，考查了推理能力与计 算能力，属于难题 22（1）； （2） ； . 【解析】 【分析】 （1）将 a=1 代入，对函数 f（x）进行求导得到切线的斜率=f'（1），切点为（1，2），从而得到切线方 程 （2）分 xe 和 xe 两种情况讨论分别对函数 f（x）进行求导，根据导函数的正负判断出函数 f（x）的单 调性后可得到答案 【详解】 （1）当时， 令 得 所以切点为（1，2），切线的斜率为 1， 所以曲线在处的切线方程为： . （2）当 时， 因为，所以恒成立，所以在上增函数. 故当 时，. 当时， （）5 分 （i）当即时，在时为正数，所以在区间上为增函数. 故当时，且此时 (ii)当，即时，在时为负数，在间 时为正数. 所以在区间上为减函数，在上为增函数 故当时，且此时 9 (iii)当；即 时，在时为负数，所以在区间1,e上为减函数， 故当时，. 综上所述，当时，在时和时的最小值都是. 所以此时的最小值为； 当时，在时的最小值为，而， 所以此时的最小值为. 当时，在时最小值为，在时的最小值为， 而，所以此时的最小值为 所以函数的最小值为. 【点睛】 本题主要考查函数导数的几何意义和函数的单调性与其导函数的正负之间的关系当导函数大于 0 时原 函数单调递增，当导函数小于 0 时原函数单调递减