2010年考研数.学一真题及答案~
-_2010年考研数学一真题一、选择题（18小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）(1) 极限limxx2(x-a)(x+b)x=(A)1 (B)e(C)ea-b (D)eb-a【考点】C。【解析】【方法一】这是一个“1”型极限limxx2(x-a)(x+b)x=limx1+a-bx+ab(x-a)(x+b)(x-a)(x+b)a-bx+aba-bx+ab(x-a)(x+b)x=ea-b 【方法二】原式=limxexlnx2(x-a)(x+b)而limx xlnx2(x-a)(x+b)=limx xln(1+a-bx+ab(x-a)(x+b) =limx xa-bx+ab(x-a)(x+b) (等价无穷小代换) =a-b则limxx2(x-a)(x+b)x=ea-b【方法三】对于“1”型极限可利用基本结论：若lim (x)=0, lim (x)=0,且lim xx=A则lim1+xx=eA,求极限由于limxxx=limxx2-(x-a)(x+b)(x-a)(x+b)x =limx(a-b)x2+abx(x-a)(x+b)=a-b则limxx2(x-a)(x+b)x=ea-b【方法四】limxx2x-ax+bx=limxx-ax+bx2-x =limx(1-ax)-xlimx1+bx-x=eae-b=ea-b 综上所述，本题正确答案是C。【考点】高等数学函数、极限、连续无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算，两个重要极限(2) 设函数z=z(x,y)由方程Fyx,zx=0确定，其中F为可微函数，且f''20,则xzx+yzy= 。(A)x (B)z(C)-x (D)-z【答案】B。【解析】因为 zx=-Fx'Fz'=-F1'-yx2+F2'-zx2F2'1x=F1'yx+F2'zxF2',zy=-Fy'Fz'=-F1'1xF2'1x=-F1'F2' 所以xzx+yzy=F1'y+F2'zF2'-yF1'F2'=F2'zF2'=z综上所述，本题正确答案是(B)。【考点】高等数学多元函数微分学多元函数的偏导数和全微分(3) 设m,n为正整数，则反常积分01mln2(1-x)nxdx的收敛性(A)仅与m的取值有关 (B)仅与n的取值有关(C)与m,n的取值都有关 (D)与m,n的取值都无关【答案】D。【解析】本题主要考察反常积分的敛散性，题中的被积函数分别在x0+和x1-时无界01mln2(1-x)nxdx=012mln2(1-x)nxdx+121mln2(1-x)nxdx 在反常积分012mln2(1-x)nxdx中，被积函数只在x0+时无界。由于mln2(1-x)nx0，limx0+mln2(1-x)nx1nx=0已知反常积分0121nxdx收敛，则012mln2(1-x)nxdx也收敛。在反常积分121mln2(1-x)nxdx中，被积函数只在x1-时无界，由于mln2(1-x)nx0limx1-mln2(1-x)nx11-x=limx1-ln2m(1-x)(1-x)12=0 (洛必达法则)且反常积分121dx1-x收敛，所以121mln2(1-x)nxdx收敛综上所述，无论m,n取任何正整数，反常积分01mln2(1-x)nxdx收敛。综上所述，本题正确答案是D。【考点】高等数学一元函数积分学反常积分(4) limni=1n j=1n n(n+i)(n2+j2)=(A)01dx0x1(1+x)(1+y2)dy (B) 01dx0x1(1+x)(1+y)dy(C)01dx011(1+x)(1+y)dy (D)01dx011(1+x)(1+y2)dy【答案】D。【解析】因为limni=1n j=1n n(n+i)(n2+j2)=limni=1n j=1n nn(1+in)n2(1+(jn)2) =limni=1n j=1n 1(1+in)(1+(jn)2)1n2 =01dx011(1+x)(1+y2)dy综上所述，本题正确答案是C。【考点】高等数学多元函数积分学二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用(5) 设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，E为m阶单位矩阵，若AB=E,则(A)秩rA=m,秩rB=m (B)秩rA=m,秩rB=n(C)秩rA=n,秩rB=m (D)秩rA=n,秩rB=n【答案】A。【解析】因为AB=E为m阶单位矩阵，知rAB=m又因 rABmin(rA,r(B),故mrA,mr(B)另一方面，A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，又有rAm,r(B)m可得秩rA=m,秩rB=m综上所述，本题正确答案是A。【考点】线性代数矩阵矩阵的秩(6) 设A为4阶实对称矩阵，且A2+A=0，若A的秩为3，则A相似于(A)1 1 1 0 (B) 1 1 -1 0(C)1 -1 -1 0 (D)-1 -1 -1 0【答案】D。【解析】由A=,0知An=n，那么对于A2+A=0推出来(2+)=02+=0所以A的特征值只能是0、-1再由A是实对称矩阵必有A，而是A的特征值，那么由rA=3,可知D正确综上所述，本题正确答案是D。【考点】线性代数特征值与特征向量实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵(7) 设随机变量X的分布函数Fx=0, x<0,12, 0x<1,1-e-x, x>1. ,则PX=1=(A)0 (B)12(C)12-e-1 (D) 1-e-1【答案】C。【解析】PX=1=F1-F1-0=1-e-1-12=12-e-1综上所述，本题正确答案是C。【考点】概率论与数理统计随机变量及其分布随机变量分布函数的概念及其性质(8) 设f1(x)为标准正太分布的概率密度，f2(x)为-1,3上均匀分布得概率密度，若fx=af1x, x0,bf2x, x>0,(a>0,b>0)为概率密度，则a,b应满足(A)2a+3b=4 (B)3a+2b=4(C)a+b=1 (D)a+b=2【答案】A。【解析】根据密度函数的性质1=-+f(x)dx=-0af1xdx+0+bf2xdx=a-0f1xdx+b0+f2xdxf1x为标准正态分布的概率密度，其对称中心在x=0处，故-0f1xdx=12f2x为-1,3上均匀分布的概率密度函数，即f2x=14， -1x30，其他0+f2xdx=0314dx=34所以1=a12+b34,可得2a+3b=4综上所述，本题正确答案是A。【考点】概率论与数理统计随机变量及其分布连续型随机变量的概率密度，常见随机变量的分布二、填空题（914小题，每小题4分，共24分。）(9) 设x=e-t,y=0tln(1+u2)du，则d2ydx2t=0= 。【答案】0。【解析】【方法一】dydx=y'(t)x'(t)=ln(1+t2)-e-t=-etln(1+t2)d2ydx2=ddt-etln1+t21x't=e2t2t1+t2+ln1+t2则d2ydx2t=0=10+0=0，【方法二】由参数方程求导公式知，d2ydx2t=0=y''0x'0-x''(0)y'(0)x'(0)3x't=-e-t,x''t=e-t,x'0=-1,x''0=1y't=ln1+t2,y''t=2t1+t2,y'0=0,y''0=0代入上式可得 d2ydx2t=0=0。【方法三】由x=e-t得，t=-lnx，则y=0-lnxln(1+u2)dudydx=-1xln(1+ln2x)d2ydx2=1x2ln1+ln2x-2lnx1+ln2x当t=0时x=1，则d2ydx2t=0=0综上所述，本题正确答案是0。【考点】高等数学一元函数微分学基本初等函数的导数，复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法(10) 02xcosxdx= 。【答案】-4。【解析】令x=t,则x=t2,dx=2tdt02xcosxdx=02t2costdt=20t2dsint= =2t2sint0-40tsintdt =4tcost0-40costdt=-4综上所述，本题正确答案是-4。【考点】高等数学一元函数积分学基本积分公式，不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法(11) 已知曲线L的方程为y=1-x,x-1,1,起点是-1,0,终点是(1,0)，则曲线积分L xydx+x2dy= 。【答案】0。【解析】如图所示L=L1+L2,其中L1:y=1+x,(-1x<0),L2:y=1-x,(0x<1)所以 L xydx+x2dy=L1 xydx+x2dy+L2 xydx+x2dy =-10x1+x+x2dx+01x1+x-x2dx =-102x2+xdx+01x-2x2dx=0综上所述，本题正确答案是0。y L1 L2-1 O 1 x【考点】高等数学多元函数积分学两类曲线积分的概念、性质及计算(12) 设=(x,y,z)|x2+y2z1，则的形心坐标z= 。【答案】23。【解析】z= zdxdydz dxdydz=02d01rdrr21zdz02d01rdrr21dz=02d01r(12-r42)dr2=02(r24-r612)01d2 =1622=23综上所述，本题正确答案是23。【考点】高等数学多元函数积分学二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用(13) 设1=(1,2,-1,0)T,2=(1,1,0,2)T,3=(2,1,1,a)T，若由1,2,3生成的向
