江苏省2019高考数学二轮复习考前冲刺必备六解题技法增分学案 有答案

必备六解题技法增分技法一特例法在解填空题时,可以取一个(或一些)特殊数值(或特殊位置、特殊函数、特殊点、特殊方程、特殊数列、特殊图形等)来确定其结果,这种方法称为特例法.特例法由于只需对特殊值、特殊情形进行检验,省去了推理论证及烦琐演算的过程,提高了解题的速度.特例法是考试中解答选择题和填空题时经常用到的一种方法,应用得当会有事半功倍的效果.典型例题例1(1)在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若a、b、c成等差数列,则cosA+cosC1+cosAcosC=. (2)AD,BE分别是ABC的中线,若|AD|=|BE|=1,且AD与BE的夹角为120°,则AB·AC=. 答案(1)45(2)23解析(1)利用特例法,令a=3,b=4,c=5,则ABC为直角三角形,cosA=45,cosC=0,从而所求值为45.(2)易知等边三角形为符合题意的ABC的一个特例,则|AB|=233,AB·AC=|AB|AC|cos60°=23.【方法归纳】当填空题已知条件中含有某些不确定的量,但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时,可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值进行处理.跟踪集训1.求值:cos2a+cos2(a+120°)+cos2(a+240°)=. 2.已知m,n是直线,是平面,给出下列命题:若,则;若n,n,则;若内不共线的三点到的距离都相等,则;若n,m,且n,m,则;若m,n为异面直线,n,n,m,m,则.其中正确的命题是.(把你认为正确的命题序号都填上) 3.如图,点P为椭圆x225+y29=1上第一象限内的任意一点,过椭圆的右顶点A、上顶点B分别作y轴、x轴的平行线,它们相交于点C,过点P引BC,AC的平行线,分别交AC于点N,交BC于点M,交AB于D、E两点,记矩形PMCN的面积为S1,三角形PDE的面积为S2,则S1S2=. 技法二图解法典型例题例2(1)直线y=x+m与曲线x=1-y2有且仅有一个公共点,则m的取值范围是. (2)已知函数f(x)=x2+(4a-3)x+3a,x<0,loga(x+1)+1,x0(a>0,且a1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-x3恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是. 答案(1)-1<m1或m=-2(2)13,23解析(1)作出曲线x=1-y2的图形,如图所示.由图形可得,当直线y=x+m在b和c之间变化时,满足题意,同时,当直线在a的位置时也满足题意,所以m的取值范围是-1<m1或m=-2.(2)因为函数f(x)在R上单调递减,所以02+(4a-3)·0+3af(0),3-4a20,0<a<1.解得13a34.在同一平面直角坐标系中作出函数y=|f(x)|,y=2-x3的图象,如图.由图象可知,在0,+)上,方程|f(x)|=2-x3有且仅有一个解;在(-,0)上,方程|f(x)|=2-x3同样有且仅有一个解,所以3a<2,即a<23.综上,a的取值范围是13,23.【方法归纳】图解法实质上是数形结合的思想在解题中的应用,利用图形的直观性并结合所学知识可直接得到相应的结论,这也是高考命题的热点.准确运用此法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系,利用几何图形中的相关结论求出结果.跟踪集训4.(2018江苏连云港期末)若方程组x2+y2+8x-10y+5=0,x2+y2+2x-2y+2-t=0有解,则实数t的取值范围是. 5.向量OC=(2,2),OB=(2,0),CA=(2cos,2sin),则向量OA,CB的夹角的取值范围是. 6.(2018镇江高三期末考试)已知k为常数,函数f(x)=x+2x+1,x0,|lnx|,x>0,若关于x的方程f(x)=kx+2有且只有4个不同的解,则实数k的取值范围为. 技法三等价转化法通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”将问题等价转化成便于解决的问题,从而得到正确的结果.典型例题例3对任意的|m|2,函数f(x)=mx2-2x+1-m恒负,则x的取值范围为. 答案7-12,3+12解析对任意的|m|2,有mx2-2x+1-m<0恒成立,等价于|m|2时,(x2-1)m-2x+1<0恒成立.设g(m)=(x2-1)m-2x+1,则原问题转化为g(m)<0在-2,2上恒成立,则g(-2)<0,g(2)<0,即2x2+2x-3>0,2x2-2x-1<0,解得7-12<x<3+12.从而实数x的取值范围是7-12,3+12.【方法归纳】在处理多元的数学问题时,我们可以选取其中的常量(或参数),将其看做“主元”,通过构造函数进行求解.运用转化方法解题,要注意转化的方向性,使转化的目的明确,使解题思路自然流畅,此外还要注意转化前后的等价性.跟踪集训7.无论k为何实数,直线y=kx+1与曲线x2+y2-2ax+a2-2a-4=0恒有交点,则实数a的取值范围是. 8.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是AB,CD的中点,点G是EF上的动点,记A1B1G,C1D1G的面积分别为S1,S2,则S1+S2的最小值为. 技法四待定系数法待定系数法是为确定变量间的函数关系,设出未知数,然后根据所给条件确定这些未知数的一种方法,其理论依据是多项式恒等.多项式f(x)g(x)的充要条件是:对于一个任意的a值,都有f(a)g(a);或者两个多项式各同类项的系数对应相等.典型例题例4已知圆M的方程为x2+(y-2)2=1,直线l的方程为x-2y=0,点P在直线l上,过P点作圆M的切线PA,PB,切点为A,B.(1)若P点的坐标为(2,1),过P作直线与圆M交于C,D两点,当CD=2时,求直线CD的方程;(2)求证:经过A,P,M三点的圆必过定点,并求出所有定点的坐标.解析(1)易知直线CD的斜率k存在,设直线CD的方程为y-1=k(x-2),即kx-y+1-2k=0.由题知圆心M到直线CD的距离为22,所以22=|-2k-1|1+k2,解得k=-1或k=-17,故所求直线CD的方程为x+y-3=0或x+7y-9=0.(2)证明:设P(2m,m),则MP的中点Qm,m2+1.因为PA是圆M的切线,所以经过A,P,M三点的圆是以Q为圆心,MQ为半径的圆,故其方程为(x-m)2+y-m2-12=m2+m2-12,化简得x2+y2-2y-m(2x+y-2)=0,此式是关于m的恒等式,故x2+y2-2y=0,2x+y-2=0,解得x=0,y=2或x=45,y=25.所以经过A,P,M三点的圆必过定点(0,2)或45,25.【方法归纳】待定系数法解题的基本步骤:第一步:确定含有待定系数的式子;第二步:根据恒等的条件,列出一组含待定系数的方程;第三步:解方程(组)或者消去待定系数,得到结果.跟踪集训9.已知二次函数f(x)的图象与x轴的两交点坐标为(2,0),(5,0),且f(0)=10,则f(x)的解析式为. 10.已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,其离心率为53,短轴的端点是B1,B2,点M(2,0)是x轴上的一定点,且MB1MB2.(1)求椭圆C的方程;(2)设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A,B两点.试问x轴上是否存在定点P,使直线PA与PB的斜率互为相反数?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.技法五换元法换元法又称辅助元素法、变量代换法.通过引入新的变量,可以把分散的条件联系起来,使隐含的条件显露出来,或者变为熟悉的形式,简化计算或证明.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,使非标准型问题标准化、复杂问题简单化.换元法经常用于三角函数的化简求值、复合函数解析式的求解等.典型例题例5已知函数f(x)=x2,g(x)=alnx+bx(a>0).设G(x)=f(x)+2-g(x)有两个零点x1,x2,且x1,x0,x2成等差数列,试探究G'(x0)的符号.解析因为G(x)=x2+2-alnx-bx有两个零点x1,x2,所以x12+2-alnx1-bx1=0,x22+2-alnx2-bx2=0,两式相减得x22-x12-a(lnx2-lnx1)-b(x2-x1)=0,即x2+x1-b=a(lnx2-lnx1)x2-x1,于是G'(x0)=2x0-ax0-b=(x1+x2-b)-2ax1+x2=a(lnx2-lnx1)x2-x1-2ax1+x2=ax2-x1lnx2x1-2(x2-x1)x1+x2=ax2-x1lnx2x1-2x2x1-11+x2x1.当0<x1<x2时,令x2x1=t,则t>1,且G'(x0)=ax2-x1lnt-2(t-1)1+t.设u(t)=lnt-2(t-1)1+t(t>1),则u'(t)=1t-4(1+t)2=(1-t)2t(1+t)2>0,则u(t)=lnt-2(t-1)1+t在(1,+)上为增函数,而u(1)=0,所以u(t)>0,即lnt-2(t-1)1+t>0.又因为a>0,x2-x1>0,所以G'(x0)>0.当0<x2<x1时,同理可得,G'(x0)>0.综上所述,G'(x0)的符号为正.【方法归纳】本题涉及两个变量x1,x2,在解题时利用换元法简化过程,然后构造函数,再利用导数法,结合函数单调性进行符号的判断.本题把式子x2x1看成一个整体,用变量t去代替它,从而达到化二元为一元的目的,同时使本来零乱、分散的问题得到简化.这种技巧在解题时非常重要,需要灵活运用.跟踪集训11.若f(lnx)=3x+4,则f(x)的表达式为. 12.已知函数f(x)=4x,g(x)=2x,则方程f(x)+f(-x)-2g(x)-2g(-x)=229的解为. 13.y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是. 技法六构造法用构造法解题的关键是由条件和结论的特殊性构造数学模型,从而简化推导与运算过程.构造法是建立在观察联想、分析综合的基础上的,首先应观察题目,观察已知条件形式上的特点,然后联想、类比已学过的知识及各种数学结构、数学模型,深刻了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景),通过构造几何、函数、向量等具体的数学模型快速解题.典型例题例6在四面体ABCD中,若AB=CD=13,AC=BD=5,AD=BC=25,则该四面体的体积V=. 答案8解析构造如图所示的长方体,并且满足AB=CD=13,AC=BD=5,AD=BC=25.设AP=p,AQ=q,AR=r,则p2+q2=AB2=13,r2+p2=AD2=20,q2+r2=AC2=25.由上述三式得p2+q2+r2=29,于是r=4,q=3,p=2.故V=V长方体-4VC-AQB=2×3×4-4×13×4×12×2×3=8.【方法归纳】构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用,需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向.一般通过构造新的函数、不等式或数列等模型将问题转化为熟悉的问题.在立体几何中,补形构造是最常用的解题技巧