1归纳与猜想(2015年)
1. (2015 内蒙古兴安盟) 将图1的正方形作如下操作：第1次分别连接对边中点如图2，得到5个正方形；第2次将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形，以此类推，第n次操作后，得到正方形的个数是答案：4n+12. (2015 湖北省咸宁市) 古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，叫做三角数，它有一定的规律性若把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2，第n个三角数记为an，计算a1+a2，a2+a3，a3+a4，由此推算a399+a400=答案：1.6×105或1600003. (2015 湖北省随州市) 观察下列图形规律：当n=时，图形“”的个数和“”的个数相等答案：54. (2015 湖北省十堰市) 如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍如果搭建正三角形和正六边形共用了2016根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数多6个，那么能连续搭建正三角形的个数是（）A222B280C286D292答案：D5. (2015 湖北省荆州市) 把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），现有等式Am=（i，j）表示正奇数m是第i组第j个数（从左往右数），如A7=（2，3），则A2015=（）A（31，50）B（32，47）C（33，46）D（34，42）答案：B6. (2015 黑龙江省绥化市) 填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律 ，按此规律得出a+b+c=_. 答案：1107. (2015 江苏省徐州市) 如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为 答案：()n18. (2015 重庆市綦江县) 下列图形都是有几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图中有2个黑色正方形，图中有5个黑色正方形，图中有8个黑色正方形，图中有11个黑色正方形，按此规律，图中黑色正方形的 个数是（ ）A32B29C28D26答案：B 9. (2015 重庆市) 如图1，在ABC中，ACB=90°，BAC=60°，点E角平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的线段，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DHAC，垂足为H，连接EF，HF。（1）如图1，若点H是AC的中点，AC=，求AB，BD的长。（2）如图1，求证：HF=EF。（3）如图2，连接CF，CE，猜想：CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由。 图1 图2答案：,连接AF易证：DAEADH，故DH=AE故易证：DHFAEFHF=EF（方法不唯一，有很多，合理即可）（法一）取AB的中点M，连接CM、FM在RTADE中，AD=2AEFM是ABD的中位线，故AD=2FMFM=AE易证ACM为等边三角形，故AC=CM故ACEMCF（手拉手全等模型）故易证：CEF为等边三角形（法二）延长DE至点N，使EN=DE，连接AN；延长BC至点M，使CB=CM，连接AM；延长BD交AM于点P易证：ADEANE，ABCAMC易证：ADMANB（手拉手全等模型），故DM=BNCF是BDM的中位线，EF是BDN的中位线故故CEF为等边三角形10. (2015 重庆市) 下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第个图形中一共有6个小圆圈，其中第个图形中一共有9个小圆圈，其中第个图形中一共有12个小圆圈，按此规律排列，则第个图形中小圆圈的个数为（ ） A. 21 B. 24 C. 27 D. 30答案：B11. (2015 内蒙古通辽市) 一列数，其中=，（n为不小于2的整数），则= 答案：2解析试题分析：根据题意得，依此类推，每三个数为一个循环组依次循环，2015÷3=6712，是第671个循环组的第2个数，与相同，考点：规律型：数字的变化类12. (2015 辽宁省辽阳市) 菱形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，MON+BCD=180°，MON绕点O旋转，射线OM交边BC于点E，射线ON交边DC于点F，连接EF（1）如图1，当ABC=90°时，OEF的形状是 ；（2）如图2，当ABC=60°时，请判断OEF的形状，并说明理由；（3）在（1）的条件下，将MON的顶点移到AO的中点O处，MON绕点O旋转，仍满足MON+BCD=180°，射线OM交直线BC于点E，射线ON交直线CD于点F，当BC=4，且时，直接写出线段CE的长答案：（1）OEF是等腰直角三角形；（2）OEF是等边三角形；（3）或解析试题分析：（1）先证四边形ABCD是正方形，得出EBO=FCO=45°，OB=OC，得出BOE=COF，进一步得到BOECOF，从而得到结论；（2）过O点作OGBC于G，作OHCD于H，根据菱形的性质可得CA平分BCD，ABC+BCD=180°，求得OG=OH，BCD=120°，GOH=EOF=60°，进一步得出EOG=FOH，得出EOGFOH，从而得到结论；（3）过O点作OGBC于G，作OHCD于H，先求得四边形OGCH是正方形，从而求得GC=OG=3，GOH=90°，得到EOG FOH全等，得到OEF是等腰直角三角形，根据已知求得等腰直角三角形的直角边OE的长，然后根据勾股定理求得EG，即可求得CE的长试题解析：（1）OEF是等腰直角三角形；如图1，菱形ABCD中，ABC=90°，四边形ABCD是正方形，OB=OC，BOC=90°，BCD=90°，EBO=FCO=45°，BOE+COE=90°，MON+BCD=180°，MON=90°，COF+COE=90°，BOE=COF，在BOE与COF中，BOE=COF，OB=OC，EBO=FCO，BOECOF（ASA），OE=OF，OEF是等腰直角三角形；（2）OEF是等边三角形；如图2，过O点作OGBC于G，作OHCD于H，OGE=OGC=OHC=90°，四边形ABCD是菱形，CA平分BCD，ABC+BCD=180°，OG=OH，BCD=180°60°=120°，GOH+OGC+BCD+OHC=360°，GOH+BCD=180°，MON+BCD=180°，GOH=EOF=60°，GOH=GOF+FOH，EOF=GOF+EOG，EOG=FOH，在EOG与FOH中，EOG=FOH，OG=OH，EGO=FHO，EOGFOH（ASA），OE=OF，OEF是等边三角形；（3）如图3，菱形ABCD中，ABC=90°，四边形ABCD是正方形，过O点作OGBC于G，作OHCD于H，OGC=OHC=BCD=90°，四边形OGCH是矩形，OGAB，OHAD，AB=BC=CD=AD=4，OG=OH=3，四边形OGCH是正方形，GC=OG=3，GOH=90°，MON+BCD=180°，EOF=90°，EOF=GOH=90°，GOH=GOF+FOH，EOF=GOF+EOG，EOG=FOH，在EOG与FOH中，EOG=FOH，OG= OH，EG O=FH O，EOGFOH（ASA），OE=OF，OEF是等腰直角三角形；S正方形ABCD=4×4=16，SOEF=18，SOEF=，OE=6，在RTOEG中，EG=，CE=CG+EG=根据对称性可知，当MON旋转到如图所示位置时，CE=EGCG=综上可得，线段CE的长为或考点：1四边形综合题；2正方形的判定与性质；3等边三角形的判定；4等腰直角三角形；5分类讨论；6综合题；7压轴题13. (2015 辽宁省辽阳市) 如图，ABC，C=90°，AC=BC=a，在ABC中截出一个正方形A1B1C1D1，使点A1，D1分别在AC，BC边上，边B1C1在AB边上；在BC1D1在截出第二个正方形A2B2C2D2，使点A2，D2分别在BC1，D1C1边上，边B2C2在BD1边上；，依此方法作下去，则第n个正方形的边长为 答案：解析试题分析：设正方形A1B1C1D1的边长为x，CA1D1和AA1B1都是等腰直角三角形，A1C=，AA1=，解得，即第1个正方形的边长为，设正方形A2B2C2D2的边长为y，C2D1D2和C1A2D2都是等腰直角三角形，C1D2=，D1D2=，解得y=，即第2个正方形的边长为，同理可得第3个正方形的边长为，第n个正方形的边长为故答案为：考点：1相似三角形的判定与性质；2等腰直角三角形；3正方形的性质；4规律型；5综合题14. (2015 辽宁省锦州市) 如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为（27，9），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1、S2、S3、Sn，则第4个正方形的边长是，S3的值为答案：分析： 根据直线解析式判断出直线与x轴的夹角30°，从而得到直线与正方形的边围成的三角形是底是高的2倍，再根据点A的坐标求出正方形的边长并得到变化规律表示出第4个正方形的边长，然后根据阴影部分的面积等于一个等腰直角三角形的面积加上梯形的面积再减去一个直角三角形的面积列式求解并根据结果的规律解答即可解答： 解：易知：直线y=x与正方形的边围成的三角形直角边底是高的2倍，A（27，9），第四个正方形的边长为，第三个正方形的边长为9，第二个正方形的边长为6，第一个正方形的边长为4，第五个正方形的边
