10课题学习(2013年)

1. (2013 陕西省) （1）请在图1中作出两条直线，使它们将圆面四等分；（2）如图2，是正方形内一定点，请在图2中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点），使它们将正方形的面积四等分，并说明理由.问题解决（3）如图3，在四边形中，点是的中点.如果，且，那么在边上是否存在一点，使所在直线将四边形的面积分成相等的两部分？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 答案：解：（1）如图1所示.（2分）（2）如图2，连接、相交于点，作直线分别交、于、两点，过点作的垂线分别交、于、两点，则直线、将正方形的面积四等分.（4分）理由如下：点是正方形的对称中心，.在和中，.，.（6分）设点到正方形一边的距离为.直线、将正方形面积四等分.（7分）（3）存在，当时，将四边形面积二等分.（8分）理由如下：如图3，延长到点，使，延长到点，使，连接.，四边形是菱形.连接交于点，则.、两点重合.点是菱形对角线的交点.（10分）在上截取，则.设点到菱形一边的距离为.则.当时，直线将四边形的面积分成相等的两部分.（12分）20130917082416718456 10 课题学习 应用题 基础知识 2013-09-172. (2013 河北省) 一透明的敞口正方体容器ABCD -ABCD 装有一些 液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为 （CBE = ，如图17-1所示）探究 如图17-1，液面刚好过棱CD，并与棱BB 交于 点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如 图17-2所示解决问题：（1）CQ与BE的位置关系是_，BQ的长是_dm； （2）求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积V液 = 底面积SBCQ×高AB） （3）求的度数.(注：sin49°cos41°，tan37°)B拓展 在图17-1的基础上，以棱AB为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出，图17-3或图17-4是其正面示意图.若液面与棱CC或CB交于点P，设PC = x，BQ = y.分别就图17-3和图17-4求y与x的函数关系式，并写出相应的的范围.延伸 在图17-4的基础上，于容器底部正中间位置，嵌入一平行于侧面的长方形隔板（厚度忽略不计），得到图17-5，隔板高NM = 1 dm，BM = CM，NMBC.继续向右缓慢旋转，当 = 60°时，通过计算，判断溢出容器的液体能否达到4 dm3.答案：解：探究（1），3（2）（3）在中， 拓展当容器向左旋转时，如图1， 液体体积不变，当容器向右旋转时，如图2，同理得 当液面恰好到达容器口沿，即点与点重合时，如图3，由，且,得由，得此时 (注：本问的范围中，“”为“”不影响得分)延伸当时，如图4所示，设，过点作于点在中，此时容器内液体形成两层液面，液体的形状分别是以和直角梯形为底面的直棱柱溢出的液体可以达到4dm3 20130917081723031106 10 课题学习 复合题 解决问题 2013-09-173. (2013 山西省) （本题13分）数学活动求重叠部分的面积问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，将两块全等的直角三角形纸片和叠放在一起，其中，顶点与边的中点重合，经过点，交于点求重叠部分（）的面积(1)请解答老师提出的问题(2)合作交流：“希望”小组受此问题的启发，将绕点旋转，使交于点，交于点，如图2，你能求出重叠部分（）的面积吗？请写出解答过程（3）提出问题：老师要求各小组向“希望”小组学习，将绕点旋转，再提出一个求重叠部分面积的问题“爱心”小组提出的问题是： 如图3，将绕点旋转，分别交于点，使，求重叠部分（）的面积 任务：请解决“爱心”小组所提出的问题，直接写出的面积是_请你仿照以上两个小组，大胆提出一个符合老师要求的问题，并在图4中画出图形，标明字母，不必解答（注：也可在图1的基础上按顺时针方向旋转）答案：（1）解：，是的中点， 1分又，2分又，是的中点3分4分合作交流：“希望”小组受此问题的启发，将绕点旋转，使交于点，交于点，如图2，你能求出重叠部分（）的面积吗？请写出解答过程（2）解法一：，5分点为的中点6分在中，是中点，在与中，8分9分解法二：同解法一，是的中点6分连接，是的中点，设，则在中，即解得7分 8分9分解法三：同解法一，5分连接，由（1）知， 6分作于点，于点是的中点，点是的中点7分在中，8分，9分（3）11分此题答案不唯一，语言表述清晰、准确得1分，画图正确得1分，重叠部分未涂阴影不扣分示例：如图，将绕点旋转，使于点，交于点，求重叠部分（四边形）的面积13分20130916161813873907 10 课题学习 应用题 基础知识 2013-09-164. (2013 山东省德州市) （1）如图1，已知ABC，以AB、AC为边向ABC外作等边ABD和等边ACE连接BE，CD请你完成图形，并证明：BE=CD；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）如图2，已知ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE连接BE，CDBE与CD有什么数量关系？简单说明理由（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得ABC=45°，CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE求BE的长答案：解：（1）完成作图，字母标注正确.（2分）证明：都是等边三角形，.即.（4分）（2）.（5分）理由同（1）：四边形和均为正方形，.（6分）（3）由（1）、（2）的解题经验可知，过作等腰直角三角形，则.（8分）连接，则由（2）可得.，.在中，.的长为米.（10分）20130916150109753211 10 课题学习 应用题 基础知识 2013-09-165. (2013 贵州省六盘水市) （1）观察发现 如图（1）：若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下： 作点B关于直线m的对称点B，连接AB，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB的长度即为AP+BP的最小值 如图（2）：在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小，做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为 （2）实践运用 如图（3）：已知O的直径CD为2，的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为 （3）拓展延伸如图（4）：点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使PM+PN的值最小，保留作图痕迹，不写作法答案：解：（1）观察发现如图（2），CE的长为BP+PE的最小值，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点CEAB，BCE=BCA=30°，BE=1，CE=BE=；故答案为；（2）实践运用如图（3），过B点作弦BECD，连结AE交CD于P点，连结OB、OE、OA、PB，BECD，CD平分BE，即点E与点B关于CD对称，的度数为60°，点B是的中点，BOC=30°，AOC=60°，EOC=30°，AOE=60°+30°=90°，OA=OE=1，AE=OA=，AE的长就是BP+AP的最小值故答案为；（3）拓展延伸如图（4）20130916142705474682 10 课题学习 应用题 基础知识 2013-09-166. (2013 浙江省衢州市) 提出问题 （1）如图1，在等边ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边AMN，连结CN. 求证：ABC=ACN.类比探究 （2）如图2，在等边ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论ABC=ACN还成立吗？请说明理由. 拓展延伸（3）如图3，在等腰ABC中， BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰AMN，使顶角AMN =ABC. 连结CN. 试探究ABC与ACN的数量关系，并说明理由.图1图3图2第22题答案：（1）证明：等边ABC，等边AMNAB=AC，AM=AN，BAC=MAN=60°BAM=CAN 1分BAMCAN（SAS） 2分ABC=ACN 3分（2）解：结论ABC=ACN仍成立 . 4分理由如下：等边ABC，等边AMN AB=AC, AM=AN， BAC=MAN=60°BAM=CAN BAMCAN 5分ABC=ACN 6分（3）解：ABC=ACN 7分理由如下：BA=BC， MA=MN，顶角ABC =AMN底角BAC=MAN ABC