7与二次函数有关的综合问题2(2014年)
1. (2014 陕西省) 已知抛物线C：y= -x2+bx+c，经过A(-3，0)和B(0，3)两点，将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N(1)求抛物线C的表达式；(2)求点M的坐标；(3)将抛物线C平移到抛物线C，抛物线的顶点记为、它的对称轴与x轴的交点记为N，如果以点M、N、N为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？答案：解：（1）根据题意，得解之，得BAM=15y= - x2-2x+3（2）x= - = - =1M (-1，4)（3）由题意，以上M、N、N为顶点的平行四边形的边MN的对边只能是MNMN/ MN，且MN= MNMN·NN16NN4当以M、N、M、N为顶点的平行四边形是Y MNNM时，将抛物线C向左或向右平移4个单位可得到符合条件的抛物线C当以M、N、M、N为顶点的平行四边形是Y MNMN时，将抛物线C先向左或向右平移4个单位，再向下平移8个单位，可得到符合条件的抛物线C上述的四种平移，均可得到符合条件的抛物线C20140902185722995874 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 解决问题 2014-09-022. (2014 河南省) 如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(5,0）两点，直线y=x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PFx轴于点F，交直线CD于点E.设点P的横坐标为m。（1）求抛物线的解析式；（2）若PE =5EF,求m的值；（3）若点E/是点E关于直线PC的对称点、是否存在点P，使点E/落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由。答案：解： (1)抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A (-1,0) , B(5,0)两点， 抛物线的解析式为y=-x2+4x+53分 （2）点P横坐标为m，则P(m,m24m5）,E(m,m+3)，F(m,0), 点P在x轴上方，要使PE=5EF,点P应在y轴右侧， 0m5. PE=-m24m5(-m3)= -m2m24分分两种情况讨论： 当点E在点F上方时，EF=m3. PE=5EF，-m2m2=5(-m3) 即2m217m26=0，解得m1=2，m2=（舍去）6分 当点E在点F下方时，EF=m3. PE=5EF，-m2m2=5(m3)，即m2m17=0，解得m3=，m4=（舍去），m的值为2或8分 (3),点P的坐标为P1(-，),P2(4，5), P3(3-，2-3).11分 提示E和E/关于直线PC对称，E/CP=ECP;又PEy轴，EPC=E/CP=PCE, PE=EC,又CECE/，四边形PECE/为菱形过点E作EMy轴于点M,CMECOD，CE=. PE=CE,-m2m2=m或-m2m2=-m， 解得m1=-，m2=4， m3=3-，m4=3+（舍去） 可求得点P的坐标为P1(-，),P2(4，5), P3(3-，2-3)。20140902191334984316 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-023. (2014 北京市) 对某一个函数给出如下定义，若存在实数M>0,对于任意的函数值y，都满足-MyM，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值，例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1,。（1）分别判断函数和y=x+1（-4x2）是不是有界函数？若是有界函数，求出其边界值。（2）若函数y=-x+1（axb，ba）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b 的取值范围。（3）将函数（-1xm，m0）的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t当m在什么范围时满足t1？答案：（1）不是 Y=x+1（-4x2）是，边界为3（2）y=-x+1 y随x的增大而减小， 当x=a时，y=-a+1=2 a=-1 当x=b时，y=-b+1-2-b+12ba-1b3（3）若m1，函数向下平移m个单位后，x=0时，函数值小于-1，此时函数的边界值t大于1，与题意不符，故m1当x=-1时，y=1 （-1，1）当x=0时，ymin=0 （0,0）都向下平移m个单位，（-1，-1-m）（0，-m） 或 或20140902192746344241 7 与二次函数有关的综合问题 阅读理解与信息迁移 解决问题 2014-09-024. (2014 河北省) 如图14，2×2网格（每个小正方形的边长为1）中有A，B，C，D，E，F，G，H，O九个格点抛物线l的解析式为（n为整数）（1）n为奇数，且l经过点H（0，1）和C（2，1），求b，c的值，并直接写出哪个格点是该抛物线上的顶点；（2）n为偶数，且l经过点A（1，0）和B（2，0），通过计算说明点F（0，2）和H（0，1）是否在抛物线上；（3）若l经过这九个格点中的三个，直接写出满足这样条件的抛物线条数答案：解：（1）因为n为奇数，则抛物线解析式为将H（0，1）和C（2，1）代入上式，得b=2，c=1所以抛物线解析式为化为顶点式为，其顶点坐标为（1，2）；所以顶点所在的格点为E；（2）因为n为偶数，则抛物线的解析式为；将A（1，0）和B（2，0）代入上式，得b=，c=2所以抛物线解析式为将x=0代入上式可得y=2，所以F点在该抛物线上，H点不在该抛物线上（3）620140902195622302671 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 解决问题 2014-09-025. (2014 海南省) 如图8，对称轴为直线x=2的抛物线经过点A（-1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B，已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点（1）求此抛物线的解析式（2）当a=1时，求四边形MEFP面积的最大值，并求此时点P的坐标（3）若PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由备用图AOMCEFxByP图8OAEFBMCPxy答案：解：（1）设抛物线为二次函数的图象过点A(1，0)、C(0，5)解得： 二次函数的函数关系式为即y=x2+4x+5 （2）当a=1时，E（1,0）,F（2,0），设P的坐标为(x，x2+4x+5)过点P作y轴的垂线，垂足为G，G则四边形MEFP面积=所以，当时，四边形MEFP面积的最大，最大值为，来源:学科网ZXXK此时点P坐标为.（3）EF=1，把点M向右平移1个单位得点M1，再做点M1关于x轴的对称点M2,在四边形FMEF中，因为边PM，EF为固定值，所以要使四边形FMEF周长最小，则ME+PF最小，因为ME=M1F=M2F，所以只要使M2F+PF最小即可，所以点F应该是直线M2P与x轴的交点，由OM=1，OC=5，得点P的纵坐标为3，根据y=x2+4x+5可求得点P（）又点M2坐标为（1，1），所以直线M2P的解析式为：，当y=0时，求得，F（，0） 所以，当时，四边形FMEF周长最小.20140902201033324930 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 解决问题 2014-09-026. (2014 山东省菏泽市)
