9几何综合题、代数和几何综合题(2016年)
1. (2016 江苏省扬州市) 已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF设CE=a，CF=b（1）如图1，当EAF被对角线AC平分时，求a、b的值；（2）当AEF是直角三角形时，求a、b的值；（3）如图3，探索EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式，并说明理由答案：考点四边形综合题分析（1）当EAF被对角线AC平分时，易证ACFACE，因此CF=CE，即a=b（2）分两种情况进行计算，先用勾股定理得出CF2=8（CE+4），再用相似三角形得出4CF=CE（CE+4），两式联立解方程组即可；（3）先判断出AFC+CAF=45°，再判断出AFC+AEC=45°，从而求出AEC，而ACF=ACE=135°，得到ACFECA，即可解答解：（1）四边形ABCD是正方形，ACF=DCD=90°，AC是正方形ABCD的对角线，ACB=ACD=45°，ACF=ACE，EAF被对角线AC平分，CAF=CAE，在ACF和ACE中，ACFACE，CE=CE，CE=a，CF=b，a=b；（2）当AEF是直角三角形时，当AEF=90°时，EAF=45°，AFE=45°，AEF是等腰直角三角形，AF2=2FE2=2（CE2+CF2），AF2=2（AD2+BE2），2（CE2+CF2）=2（AD2+BE2），CE2+CF2=AD2+BE2，CE2+CF2=16+（4+CE）2，CF2=8（CE+4）AEB+BEF=90°，AEB+BAE=90°，BEF=BAE，ABEECF，4CF=CE（CE+4），联立得，CE=4，CF=8a=4，b=8，当AFE=90°时，同的方法得，CF=4，CE=8，a=8，b=4（3）ab=32，理由：如图，BAG+AGB=90°，AFC+CGF=90°，AGB=CGF，BAG=AFC，BAC=45°，BAG+CAF=45°，AFC+CAF=45°，AFC+AEC=180°（CFE+CEF）EAF=180°90°45°=45°，CAF=AEC，ACF=ACE=135°，ACFECA，EC×CF=AC2=2AB2=32ab=3220160927134020546837 9 几何综合题、代数和几何综合题 应用题 数学思考 2016/9/272. (2016 甘肃省天水市) 】（1）如图1，已知ABC，以AB、AC为边分别向ABC外作等边ABD和等边ACE，连结BE、CD，请你完成图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并证明：BE=CD；（2）如图2，已知ABC，以AB、AC为边分别向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连结BE、CD，猜想BE与CD有什么数量关系？并说明理由；（3）运用（1），（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图（3），要测量池塘两岸相对的两点B、E的距离，已经测得ABC=45°，CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长（结果保留根号）答案：】考点四边形综合题分析（1）作图：分别以点A、B为圆心，以AB为半径画弧，交于点D，连接AD、BD；再分别以A、C为圆心，以AC为半径画弧，交于E，连接AE、CE，则ABD、ACE就是所求作的等边三角形；利用等边三角形的性质证明DACBAE可以得出结论；（2）相等，利用正方形性质证明DACBAE，则BE=CD；（3）构建等腰直角ABD，得BE=CD，利用勾股定理求CD的长，即是BE的长解答证明：（1）如图1，ABD和ACE都是等边三角形，AD=AB，AC=AE，DAB=EAC=60°，DAC=BAE，DACBAE，BE=CD；（2）如图2，BE=CD，正方形ABFD和正方形ACGE，DAB=EAC=90°，DAB+BAC=EAC+BAC，即DAC=BAE，在DAC和BAE中，DACBAE，BE=CD；（3）由（1）（2）的解题经验可知：过点A向ABC外作等腰直角ABD，使DAB=90°，AD=AB=100，ABD=45°，BD=100，如图3，连接CD，则由（2）可得：BE=CD，ABC=45°，DBC=90°，在RtDBC中，BC=100，BD=100，CD=100，BE=CD=100，答：BE的长为100米点评本题是一个由三角形向外作两个等边三角形或正方形得一相同结论，并利用这一结论解决生活中的实际问题；考查了等边三角形、正方形的性质及全等三角形的判定和性质；找出图形中三角形全等是解决此题的关键；并利用勾股定理计算边长20160927105911953893 9 几何综合题、代数和几何综合题 应用题 数学思考 2016/9/273. (2016 甘肃省天水市) 】如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连接OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在点A的位置，若OB=，tanBOC=，则点A的坐标为_答案：】考点翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质分析如图，作辅助线；根据题意首先求出AB、BC的长度；借助面积公式求出AD、OD的长度，即可解决问题解答解：如图，过点A作ADx轴与点D；设AD=，OD=；四边形ABCO为矩形，OAB=OCB=90°；四边形ABAD为梯形；设AB=OC=，BC=AO=；OB=，tanBOC=，解得：=2，=1；由题意得：AO=AO=1；ABOABO；由勾股定理得：2+2=1，由面积公式得：；联立并解得：=，=故答案为（，）点评该题以平面直角坐标系为载体，以翻折变换为方法构造而成；综合考查了矩形的性质、三角函数的定义、勾股定理等几何知识点；对分析问题解决问题的能力提出了较高的要求20160927105910453087 9 几何综合题、代数和几何综合题 填空题 解决问题 2016/9/274. (2016 甘肃省天水市) 】如图，边长为2的等边ABC和边长为1的等边ABC，它们的边BC，BC位于同一条直线l上，开始时，点C与B重合，ABC固定不动，然后把ABC自左向右沿直线l平移，移出ABC外（点B与C重合）停止，设ABC平移的距离为x，两个三角形重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象是（）ABCD答案：】考点动点问题的函数图象分析分为0x1、1x2、2x3三种情况画出图形，然后依据等边三角形的性质和三角形的面积公式可求得y与x的函数关系式，于是可求得问题的答案解答解：如图1所示：当0x1时，过点D作DEBCABC和ABC均为等边三角形，DBC为等边三角形DE=BC=xy=BCDE=x2当x=1时，y=，且抛物线的开口向上如图2所示：1x2时，过点A作AEBC，垂足为Ey=BCAE=×1×=函数图象是一条平行与x轴的线段如图3所示：2x3时，过点D作DEBC，垂足为Ey=BCDE=（x2）2，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上故选：B点评本题主要考查的是动点问题的函数图象，求得函数的解析式是解题的关键20160927105909890431 9 几何综合题、代数和几何综合题 选择题 数学思考 2016/9/275. (2016 福建省龙岩市) 】已知ABC是等腰三角形，AB=AC（1）特殊情形：如图1，当DEBC时，有DBEC（填“”，“”或“=”）（2）发现探究：若将图1中的ADE绕点A顺时针旋转（0°180°）到图2位置，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由（3）拓展运用：如图3，P是等腰直角三角形ABC内一点，ACB=90°，且PB=1，PC=2，PA=3，求BPC的度数答案：】考点几何变换综合题分析（1）由DEBC，得到，结合AB=AC，得到DB=EC；（2）由旋转得到的结论判断出DABEAC，得到DB=CE；（3）由旋转构造出CPBCEA，再用勾股定理计算出PE，然后用勾股定理逆定理判断出PEA是直角三角形，在简单计算即可解答解：（1）DEBC，AB=AC，DB=EC，故答案为=，（2）成立证明：由易知AD=AE，由旋转性质可知DAB=EAC，在DAB和EAC中得DABEAC，DB=CE，（3）如图，将CPB绕点C旋转90°得CEA，连接PE，CPBCEA，CE=CP=2，AE=BP=1，PCE=90°，CEP=CPE=45°，在RtPCE中，由勾股定理可得，PE=2，在PEA中，PE2=（2）2=8，AE2=12=1，PA2=32=9，PE2+AE2=AP2，PEA是直角三角形PEA=90°，CEA=135°，又CPBCEABPC=CEA=135°20160927091228875535 9 几何综合题、代数和几何综合题 应用题 双基简单应用 2016/9/276. (2016 广西来宾市) 】如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=6，点M为AB上的一动点，将矩形ABCD沿某一直线对折，使点C与点M重合，该直线与AB（或BC）、CD（或DA）分别交于点P、Q（1）用直尺和圆规在图甲中画出折痕所在直线（不要求写画法，但要求保留作图痕迹）（2）如果PQ与AB、CD都相交，试判断MPQ的形状并证明你的结论；（3）设AM=x，d为点M到直线PQ的距离，y=d2，求y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；当直线PQ恰好通过点D时，求点M到直线PQ的距离答案：】考点四边形综合题分析（1）作线段CM的垂直平分线即可；（2）由矩形的性质得出ABCD，CD=AB=10，得出QCO=PMO，由折叠的性质得出PQ是CM的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质得出CQ=MQ，由ASA证明OCQOMP，得出CQ=MP，得出MP=MQ即可；（3）作MNCD于N，如图2所示：则MN=AD=6，DN=AM=x，CN=10x，在RtMCN中，由勾股定理得出（2d）2=62+（10x）2，即可得出结果；当直线PQ恰好通过点D时，Q与
