知识点13 一元二次方程的代数应用2018-2019领军中考数学（解析版）

专题十三 一元二次方程的代数应用瞄准中考一、选择题1. （2018黑龙江省龙东地区，15，3分） 某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？（ ）A4B5C6D7【答案】C【解析】设有x个班级参赛，依题意列方程得，解得x15（舍去），x26，有6个班级参赛2. （2018广西南宁，11，3）某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）A80(1x)2100B80(1x)2100C80(12x)100D80(1x2)100【答案】A3. （2018·宁夏，5，3）某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元设这两年的年利润平均增长率为x，应列方程是 （ ）4.若A300(1x)507 B300(1x)2507C300(1x)300(1x)2507 D300300(1x)300(1x)2507【答案】B【解析】2018年初获利润300万元，年利润平均增长率为x，2019年初获利润300(1x)元，2020年初计划利润为300(1x)2又2020年初计划利润达到507万元，应列方程是300(1x)2507选B4. （2018四川眉山，10，3分）我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（ ）A8%B9%C10%D11%【答案】C【解析】设平均每次下调的百分率为x，则根据题意可得：6000(1x)24860，解方程得：x10.110%，x21.1(舍去)故答案为C二、填空题5. （2018内蒙古通辽，15，3分）为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为 【答案】x(x1)21【解析】设邀请x个队，由于每个队都要赛（x1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：x(x1)21，故答案为：x(x1)21考点（知识点）讲解3、二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。因此一元二次方程中的，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。当>0时，图像与x轴有两个交点；当=0时，图像与x轴有一个交点；当<0时，图像与x轴没有交点。补充：1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法） y如图：点A坐标为（x1，y1）点B坐标为（x2，y2）则AB间的距离，即线段AB的长度为 A 0 x B2、函数平移规律（中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）左加右减、上加下减一元二次方程对于方程：ax2bxc0：求根公式是x，其中b24ac叫做根的判别式。当0时，方程有两个不相等的实数根；当0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程没有实数根注意：当0时，方程有实数根。若方程有两个实数根x1和x2，则二次三项式ax2bxc可分解为a(xx1)(xx2)。以a和b为根的一元二次方程是x2(ab)xab0。一元二次方程的解法 （10分）1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，当b<0时，方程没有实数根。学科网2、配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程的求根公式：4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。考点四、一元二次方程根的判别式 （3分）根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即考点五、一元二次方程根与系数的关系 （3分）如果方程的两个实数根是，那么，。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。考点六、分式方程 （8分）1、分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。2、分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是：（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母（2）解所得的整式方程（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。3、分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。考点七、二元一次方程组 （810分）1、二元一次方程含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是（2、二元一次方程的解使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。3、二元一次方程组两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。4二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。5、二元一次方正组的解法（1）代入法（2）加减法6、三元一次方程把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。7、三元一次方程组由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。典例1 阅读材料题（本题共12分） 25. （2018年黔三州，25,12）“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法. 例如;图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，按此规律，求图10、图n由多少个点？ 我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×1=6个；图2中黑点个数是6×2=12个；图3中黑点个数是6×3=18个；，所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是 、 .【思路分析】根据图1、图2、图3，黑点数分别是6×1=6、6×2=12、6×3=18，可以猜想图10中黑点数为6×10=60，图n中黑点数为6×n=6n.【答案】60,6n 请你参考以上“分块计数法”先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上），再完成以下问题：（1）第5个点阵中有 个圆圈；第n个点阵中有 个圆圈；【答案】61 3n-3n+1(或3n(n-1)+1) (2)小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵.【思路分析】设第n个点阵的小圆圈个数为271，根据问题（1）结论列方程解决.【解题过程】设第n个点阵的小圆圈个数为271，则3n(n-1)+1=271，整理得n2-n-90=0，解得n1=-9(不符合题意，舍去)，n2=10.所以，第10个点阵中小圆圈个数为271个.典例2 （2018辽宁省沈阳市，21，8分）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进生产技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同.（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本.【思路分析】（1）设该公司每个月生产成本的下降率为x，则等量关系为一月份的生产成本×（1-生产成本的下降率）×（1-生产成本的下降率）=3月份的生产成本. 将相关数量代入，即可列出方程并求解.（2）用3月份的生产成本×（1-生产成本的下降率）即可求得4月份该公司的生产成本.三、解答题1. （2018四川巴中，25，12分）“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法.例知：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，.按此规律，求图10、图n有多少个点?我们将每个图形分成完全相同的6块，如每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×16个；图2中黑点个数是6×212个；图3中黑点个数是6×318个；.所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是 、 . 请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上），再完成以下问题：（1）第5个点阵中有 个圆圈；第n个点阵中 有个圆圈. （2）小圆圈的个数会等于271吗?如果会，请求出是第几个点阵.【思路分析】根据规律不难求得图10中黑点个数是6×1060个；图n中黑点个数是6n个；（1）第2个图中2为一块，分为3块，余1，第2个图中3为一块，分为6块，余1；按此规律得：第5个点阵中5为一块，分为12块，余1，得第n个点阵中有：n×3（n1）13n23n1，（2）代入271，列方程，方程有解则存在这样的点阵学科网【解答过程】图10中黑点个数是6×1060个；图n中黑点个数是6n个，故答案分别为60个、6n个；（1）如图所示：第1个点阵中有：1个，第2个点阵中有：2×317个，第3个点阵中有：3×6117个，第4个点阵中有：4×9137个，第5个点阵中有：5×12160个，第n个点阵中有：n×3（n1）13n23n1，故答案分别为60，3n23n1；（2）3n23n1271，n2n900，（n10）（n9）0，n110，n29（舍），小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵2. （2018湖北十堰，21，7分）已知关于x的一元二次方程x2（2k1）xk2k10有实数根（1）求k的取值范围；（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12x2211，求k的值【思路