2018届高三数学(文)高考总复习:升级增分训练_定点、定值、证明问题_有解析
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2018届高三数学(文)高考总复习:升级增分训练_定点、定值、证明问题_有解析
升级增分训练 定点、定值、证明问题1已知椭圆C:1(ab0)的离心率为,短轴端点到焦点的距离为2(1)求椭圆C的方程;(2)设A,B为椭圆C上任意两点,O为坐标原点,且OAOB求证:原点O到直线AB的距离为定值 ,并求出该定值解:(1)由题意知,e,2,又a2b2c2,所以a2,c,b1,所以椭圆C的方程为y21(2)证明:当直线AB的斜率不存在时,直线AB的方程为x±,此时,原点O到直线AB的距离为当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为ykxm,A(x1,y1),B(x2,y2)由得(14k2)x28kmx4m240则(8km)24(14k2)(4m24)16(14k2m2)0,x1x2,x1x2,则y1y2(kx1m)(kx2m),由OAOB,得kOA·kOB1,即·1,所以x1x2y1y20,即m2(1k2),满足0所以原点O到直线AB的距离为综上,原点O到直线AB的距离为定值2(2017·湖南省东部六校联考)设椭圆C1:1(ab0)的离心率为,F1,F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上任意一点,且PF1F2的周长是42(1)求椭圆C1的方程;(2)设椭圆C1的左、右顶点分别为A,B,过椭圆C1上的一点D作x轴的垂线交x轴于点E,若C点满足,连接AC交DE于点P,求证:PDPE解:(1)由e,知,所以ca,因为PF1F2的周长是42,所以2a2c42,所以a2,c,所以b2a2c21,所以椭圆C1的方程为y21(2)证明:由(1)得A(2,0),B(2,0),设D(x0,y0),所以E(x0,0),因为,所以可设C(2,y1),所以(x02,y0),(2,y1),由可得(x02)y12y0,即y1所以直线AC的方程为:整理得y(x2)又点P在直线DE上,将xx0代入直线AC的方程可得y,即点P的坐标为,所以P为DE的中点,所以PDPE3椭圆C:1(ab0)的离心率为,其左焦点到点P(2,1)的距离为(1)求椭圆C的标准方程(2)若直线l:ykxm与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左、右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标解:(1)因为左焦点(c,0)到点P(2,1)的距离为,所以,解得c1又e,解得a2,所以b2a2c23所以所求椭圆C的方程为1(2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y,得(34k2)x28mkx4(m23)0,64m2k216(34k2)(m23)0,化简,得34k2m20所以x1x2,x1x2y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2因为以AB为直径的圆过椭圆右顶点D(2,0),则kAD·kBD1,所以·1,所以y1y2x1x22(x1x2)40,所以40化为7m216mk4k20,解得m12k,m2,满足34k2m20当m2k时,l:yk(x2),直线过定点(2,0)与已知矛盾;当m时,l:yk,直线过定点综上可知,直线l过定点4(2016·南昌一模)已知椭圆C:1(ab0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形,直线xy210与以椭圆C的右焦点为圆心,椭圆的长半轴长为半径的圆相切(1)求椭圆C的方程;(2)设点B,C,D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点,点B与点D关于原点O对称设直线CD,CB,OB,OC的斜率分别为k1,k2,k3,k4,且k1k2k3k4求k1k2的值;求|OB|2|OC|2的值解:(1)设椭圆C的右焦点为F2(c,0),则c2a2b2(c0)由题意可得,以椭圆C的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为(xc)2y2a2,圆心到直线xy210的距离da(*)椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形,bc,a2c,把a2c代入(*)式得c1,b,a2,故所求椭圆的方程为1(2)设B(x1,y1),C(x2,y2),则D(x1,y1),于是k1k2·由及题意知,k3k4k1k2,故y1y2x1x2xxyy(4x)·(4x),即xx164(xx)xx,xx4又2,故yy3|OB|2|OC|2xyxy76