【解析版】江苏省常州市14校联盟2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题 word版含解析

www.ks5u.com常州市“14校合作联盟”2018学年度第一学期期中质量调研高一 数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题4分，共56分，不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上）1.设集合，则=_【答案】【解析】【分析】根据集合A、B表示的实数范围求A与B的交集【详解】集合A表示大于0的实数组成的集合，集合B表示大于-1小于3的实数组成的集合，故【点睛】数集的交、并、补运算可借助数轴来进行运算2.函数恒过定点 .【答案】【解析】解：因为函数中，无论底数a取何值，都满足令x=2,f(x)=4,故函数必定过点3.给出下列三个函数：； 其中与函数相同的函数的序号是_【答案】【解析】【分析】依次判断函数的定义域、解析式是否与已知函数的定义域、解析式都相同，找出相同函数【详解】的定义域为，与定义域不同，与定义域、解析式均相同，与解析式不同， 故选【点睛】判断两个函数是否为相同函数，只要比较两个函数的定义域，对应关系是否都相同，如果都相同就是相同函数4.满足的集合的个数为_【答案】3【解析】【分析】由集合间的关系判断集合A中元素特征，列举出符合条件的集合A，确定个数【详解】因为，所以集合A中必有1,2，可能有3,4中的一个，故集合A可能为：，共3个【点睛】根据子集、真子集的概念可以判断集合中含有元素的情况，可根据集合中元素的多少进行分类，采用列举法逐一写出每种情况的集合5.已知，则_【答案】1【解析】【分析】利用换元法，令，求得，得【详解】令，则，所以 ，得【点睛】函数解析式的求法：1.待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；2.换元法：已知复合函数的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；3.配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以代替，便得的解析式；4.消去法：已知与之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个组成方程组，通过解方程组求出6.已知函数是上的偶函数，且时， 则当时，函数的解析式为_【答案】【解析】【分析】令，则，代入解析式，得，由函数是偶函数得，【详解】令，则，因为时，所以，又因为是偶函数，所以【点睛】利用函数奇偶性求函数解析式3个步骤：1.“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，就应在哪个区间上设；2.转化到已知区间上，代入已知的解析式；3.利用的奇偶性，写出的解析式7.直线与函数，图象的两个交点间距离为_【答案】【解析】【分析】分别令，解得直线与函数，图象的两个交点的横坐标，两个横坐标之差即为所求【详解】令，得，再令，得，所以直线与函数，图象的两个交点间的距离为：【点睛】指数运算和对数运算互为逆运算8.已知函数，若，则实数的取值范围为_【答案】【解析】【分析】计算，将原不等式化为，分和的情况，分别解关于的不等式，解集即为所求【详解】由题，所以不等式可化为，当时，不等式等价于，所以，当时，不等式等价于，所以，综上所述，的取值范围为【点睛】解决分段函数的不等式问题，要区分自变量属于哪一段区间，代入该段的解析式再解不等式9.已知集合，且，则实数的值为_【答案】或或1【解析】【分析】解方程得，因为，所以，分别解得的值【详解】由题，因为，所以当时，无解，；当时，；当时，综上所述，的值为或或【点睛】由集合间的关系求参数时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用10.记函数的定义域为集合，函数，的值域为集合，则 _【答案】【解析】【分析】计算的定义域得集合，计算的值域得集合，再借助数轴计算即为所求【详解】由且，得，又因为，所以，得的值域，所以【点睛】求与指数函数有关的函数的值域时，在运用函数的单调性的前提下，要注意指数函数的值域为11.当时，函数恒有意义，则实数的取值范围为_【答案】【解析】【分析】分析函数解析式特征，恒大于零则解析式恒有意义，所以在上恒成立，参变分离，即在上恒成立，得【详解】因为时，函数恒有意义，所以在上恒成立，即在上恒成立，又因为当时，所以【点睛】解决不等式恒成立问题，可以使用参变分离的方法，直接转化为求函数最值问题12.已知为定义在上的偶函数，且在上为单调增函数， ，则不等式的解集为_【答案】【解析】【分析】由为上的偶函数，且在上为单调增函数，所以在上为单调减函数，又因为，所以，结合单调性得到函数大于零和小于零的区间，将，转化为，即与同正或同负，写出符合条件的区间即为所求【详解】由为上的偶函数，且在上为单调增函数，所以在上为单调减函数，又因为，所以，所以当时，当时，又因为，所以或，即【点睛】解决函数的奇偶性与单调性的综合问题时，一定要充分利用已知条件，数形结合，列出不等式（组），要注意函数定义域的影响13.函数是定义域为的奇函数，则_【答案】-4【解析】函数是奇函数,所以图象关于原点 对称,则函数 的图象由函数的图象先向下平移2个单位,再向右平移1个单位得到,所以函数 的图象关于点对称,所以.14.已知函数，若存在，且，使得成立，则实数的取值范围是_【答案】或【解析】【分析】当时，且单调递增，因为存在，且，使得成立，所以在时不单调，或，解得实数的取值范围【详解】当时，且单调递增，因为存在，且，使得成立，所以在时不单调，或，即或，解得或【点睛】函数单调性定义具有“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性，可以确定参数的取值范围二、解答题（本大题共6小题，共64分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤， 请把答案写在答题纸的指定区域内）15.已知集合，（1）若，求;（2）若，求实数的取值范围【答案】(1) (2) 或【解析】【分析】（1）计算，在时的值域，得集合A，将代入集合B，解不等式，得到集合B，求两个集合的并集；（2）因为，所以集合A与集合B无公共部分，借助数轴分析参数的取值情况【详解】解：集合是函数 的值域 ，易知 （1）若，则，结合数轴知 （2）若，得或，即或【点睛】由集合间的关系求参数时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点16.计算：（1）（2）【答案】(1)8,(2)10【解析】【分析】（1）分别化简、计算每一个指数式的值，再进行加减运算；（2）分别化简、计算每一个对数或指数式，再合并运算【详解】解：（1） （2）【点睛】进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序。17.已知函数是奇函数（1）求实数的值；（2）用定义证明是上的增函数；并求当时函数的值域【答案】(1) (2) 见解析，【解析】【分析】（1）由是奇函数，所以，解得的值；（2）在上任取，且，化简，并说明，即证是上的增函数，因为是上的增函数，所以在上单调递增，所以，可得函数值域【详解】（1）定义域为，（2）函数定义域为，任取，且，则， ， 可知 ，所以，则是上的增函数当时，当时，则值域【点睛】用定义证明函数单调性的四个步骤：取值，作差变形，定号，下结论。定义法判断函数奇偶性的步骤：判断定义域是否关于原点对称，验证与的关系，下结论18.某家庭进行理财投资，有两种方式，甲为投资债券等稳健型产品，乙为投资股票等风险型产品，设投资甲、乙两种产品的年收益分别为、万元，根据长期收益率市场预测，它们与投入资金万元的关系分别为，（其中，都为常数），函数，对应的曲线,如图所示（1）求函数、的解析式；（2）若该家庭现有万元资金，全部用于理财投资，问：如何分配资金能使一年的投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？【答案】（1）的解析式分别为，；（2）投资甲产品万元，投资乙产品万元，可以使得一年的投资获得最大收益为万【解析】【分析】（1）函数对应的曲线都经过点，分别代入解析式，解得未知数的值，可得解析式；（2）设投资甲产品为万元，则投资乙产品为万元，所以总收益，设，则，求函数定义域内最大值即为所求【详解】解：（1）由函数的图象过点得，所以；由函数的图象过点得，所以；所以，. （2）设投资甲产品为万元，则投资乙产品为万元，则总收益， 设，则，所以即时，总收益最大，为万. 答：（1）的解析式分别为，；（2）投资甲产品万元，投资乙产品万元，可以使得一年的投资获得最大收益为万.【点睛】解决函数应用题的步骤：1.审题，理解题意，设定变量；2.建模，建立函数关系，并注明定义域；3.解模，运用函数相关知识求解；4.结论，回到应用问题中去，给出答案19.已知函数（1）若在区间上是单调函数，求实数的取值范围；（2）若函数，的最大值为，求的表达式【答案】(1) 或 (2) 【解析】【分析】（1）由在区间上是单调函数，结合二次函数单调性的性质，在单调递减，在单调递增，所以或，解不等式得范围；（2）令，则，由二次函数的性质可知，最大值应在远离对称轴处取到，分类讨论对称轴与区间中点的大小，得到函数最值【详解】解：（1）由题意可知，二次函数在上是单调函数则或得或 （2）令，则，对称轴当，即时， 当，即时， 综上所述，20.设是实数，函数 （1）求证：函数不是奇函数；（2）当时，解关于的不等式；（3）求函数的值域（用表示）【答案】(1) 证明见解析(2)时，不等式解集为；时，不等式解集为 (3)时，函数值域为；时，函数值域为；时，函数值域为【解析】【分析】（1）可以用反证法进行证明，假设是奇函数，应有，而，所以函数不是奇函数；（2）因为，所以当时，不等式可以化为即，因为，所以，即，对和的情况进行分类讨论，解不等式；（3）令，则且，对和的情况进行分类讨论，去绝对值符号，得到两种情况下的函数解析式，再分别计算函数值域【详解】解：（1）假设是奇函数，那么对于一切恒成立，可得，而，所以函数不是奇函数（2）因为，所以当时，不等式可以化为即，因为，所以，即当，即时，不等式恒成立，故的取值范围是当，即时，不等式得，故的取值范围是（3）令，则且若，则是增函数，其取值范围为；若，则对于，有当时，是减函数，取值范围是；当时，的最小值是，取值范围是（时）或者取值范围是（时）对于，有是增函数，其取值范围为 综上所述，当时，值域为；当时，值域为；当时，值域为【点睛】求解二次函数最值问题的顺序：1.确定对称轴与抛物线的开口方向，作简图；2.在图象上标出定义域的位置；3.观察单调性写出最值