《课时讲练通》2017-2018学年高中数学（人教a版）必修一配套课件：2.2.2.2习题课——对数函数及其性质
第2课时 习题课对数函数及其性质,类型一 比较大小 【典例1】比较下列各组中两个值的大小. (1)log31.99,log32. (2)log30.2,log40.2. (3)log23,log0.32. (4)loga,loga3.14(a0,且a1).,【解题指南】利用对数的单调性,换底公式及不等式的传递性来比较.,【解析】(1)(单调性法)因为f(x)=log3x在(0,+)上是增函数,且1.99log0.23log0.24, 所以 ,即log30.2log21=0,log0.32log0.32.,(4)(分类讨论法)当a1时,函数y=logax在定义域上是增函数,则logaloga3.14; 当01时,logaloga3.14. 当0a1时,logaloga3.14.,【方法总结】比较两个对数式大小的方法技巧 (1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行比较. (2)若底数为同一字母,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论.,(3)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较;也可以先画出对数函数的图象,再进行比较. (4)若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较.,【巩固训练】比较下列各组数的大小. (1)log0.90.8,log0.90.7,log0.80.9. (2)log32,log23,log4 .,【解析】(1)因为y=log0.9x在(0,+)上是减函数,且0.90.80.7, 所以1log0.90.8log0.90.7. 又因为log0.80.9log0.80.8=1, 所以log0.80.9log0.90.8log0.90.7.,(2)由log31log22=1,log4 log41=0, 所以log4 log32log23.,【补偿训练】比较下列各组值的大小. (1) (2) (3)log23与log54.,【解析】(1)方法一:对数函数y=log5x在(0,+)上是增函数,而 所以 方法二:因为 所以,(2)由于 又因对数函数y=log2x在(0,+)上是增函数,且 所以 所以 所以,(3)取中间值1,因为log23log22=1=log55log54, 所以log23log54.,类型二 简单对数不等式 【典例2】(2017·焦作高一检测)已知函数f(x)的图象与g(x)=log5x的图象关于x轴对称,解不等式f(2x) f(x-1). 【解题指南】由条件先求出函数f(x)的解析式,然后借助f(x)的单调性即可把原不等式转化为一元一次不等式组来求解.,【解析】因为函数f(x)的图象与g(x)=log5x的图象关于x轴对称,所以f(x)= 故f(2x)1，所以原不等式的解集为(1,+).,【延伸探究】 1.本例条件不变,试解不等式f(2x-1)f(x+3). 【解析】由题意得f(x)= 因此f(2x-1)f(x+3) 所以原不等式的解集为,2.若本例中的条件“g(x)=log5x”换为“g(x)= ”, 其他条件不变,结论又如何呢? 【解析】由题意得f(x)=log5x. 故f(2x)f(x-1)log5(2x)log5(x-1) 无解.即原不等式的解集为.,【方法总结】解简单对数不等式的方法技巧 (1)当a1时,logaf(x)b=logaabf(x)ab; logaf(x)logag(x) (2)当0b=logaab logaf(x)logag(x) 提醒:解简单对数不等式时不要忘记真数大于0这一条件.,【补偿训练】解不等式:2loga(x-4)loga(x-2). 【解析】原不等式可化为loga(x-4)2loga(x-2). 当a1时,原不等式等价于 解得x6.,当01时,不等式的解集为(6,+); 当0a1时,不等式的解集为(4,6).,类型三 对数函数性质的综合应用 【典例3】已知函数f(x)=loga(x+1)-loga(1-x)(a0且a1). (1)求f(x)的定义域. (2)判断f(x)的奇偶性并予以证明. (3)当a1时,求使f(x)0的x的取值范围.,【解题指南】(1)求函数的定义域即为函数解析式有意义时自变量x的取值集合. (2)判断f(x)的奇偶性需分两步:第一步是看定义域是否关于原点对称;第二步判断f(-x)与f(x)的关系. (3)利用对数函数的单调性将对数不等式转化为一元一次不等式来解.,【解析】(1)因为f(x)=loga(x+1)-loga(1-x), 所以 解得-1x1,所以定义域为(-1,1). (2)f(x)为奇函数. 证明:由(1)知函数的定义域为(-1,1), f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x)=-loga(x+1)-loga(1-x) =-f(x),故f(x)为奇函数.,(3)因为当a1时,f(x)在定义域(-1,1)上是增加的, 所以由f(x)0,得loga(x+1)-loga(1-x)0, 即loga(x+1)loga(1-x),即x+11-x, 又-1x1,解得0x1,所以x的取值范围是(0,1).,【方法总结】解答y=logaf(x)型或y=f(logax)型函数要注意的问题 (1)要注意变量的取值范围.例如,f(x)=log2x,g(x)= x2+x,则f(g(x)=log2(x2+x)中需有g(x)0;g(f(x)= (log2x)2+log2x中需有x0.,(2)判断y=logaf(x)型或y=f(logax)型函数的奇偶性,首先要注意函数中自变量的范围,再利用奇偶性的定义判断.,【巩固训练】已知函数f(x)=ln 是奇函数. (1)求m的值. (2)判定f(x)在(1,+)上的单调性,并加以证明.,【解析】(1)f(-x)= -f(x)= 因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x), 即 所以 ,解得m=±1. 当m=1时, =-1,函数无意义,所以m=-1.,(2)f(x)在(1,+)上是减函数,证明如下: 由(1)知f(x)= 任取x1,x2满足10,x1-10,x2-10, 所以 0,所以 0,即,【补偿训练】已知x满足不等式 0,求函数f(x)= 的最大值和最小值.,【解析】f(x)= =(log2x-2)(log2x-1)= 由 0,可解得 -3 - ,即 x8, 所以 log2x3, 所以当log2x= ,即x=2 时,f(x)有最小值- .,当log2x=3,即x=8时,f(x)有最大值2. 所以f(x)min=- ,f(x)max=2.,
