3月月考数学试卷答案_20190322101514

1 铜陵市第一中学高二年级铜陵市第一中学高二年级 3 3 月月考数学试卷月月考数学试卷 考试时间：120 分钟满分：150 分 一、一、选择题选择题( (本题共本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分).). 1 “1x ”是“ 2 320xx”的（B） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 2.已知函数 52 ( )ln 33 f xxx，则 0 (1)(1) lim x ffx x A A1B1C 4 3 D 5 3 3.方程1 32 22 m y m x 表示双曲线的一个充分不必要条件是（A） A.03mB.23mC.43mD.31m 4.若函数 2 1 e( 2 ) x f xkx在区间(0,)上单调递增，则实数k的取值范围是 C A(1, e )B(0,)C 1 , e )D0,) 5.已知抛物线 2 2ypx的准线方程是2x ，则p的值为（ B） A2B4C-2D-4 6.已知正方形ABCD的顶点,A B为椭圆的焦点，顶点,C D在椭圆上，则此椭圆的离心率 为(A) A.21B. 2 2 C.21D.22 7.椭圆1 4 2 22 a yx 与双曲线1 2 22 y a x 有相同的焦点，则a的值为（A ） A.1B.2C.2D.3 8.已知直三棱柱 111 CC 中，C120 ，1 ， 1 CCC2， 则异面直线 1 与 1 C所成角的余弦值为 D A 10 5 B 15 5 C 6 4 D 10 4 9.已知椭圆 2 2 1 4 x y的右顶点为A，直线:2l x上有两点P，Q关于x轴对称（P在 Q下方） ，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A） ，若直线BQ经过坐标原点，则直 线AP的斜率为 D 2 A. 6 2 B. 6 3 C.2D. 2 2 10.已知 1 sincosfxxx， 1n fx 是 n fx的导函数，即 21 fxfx ， 32 fxfx ， 1nn fxfx ， * Nn，则 2015 fx （ B） A.sincosxxB.sincosxxC.sincosxxD.sincosxx 11.F是双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线， 垂足为A，交另一条渐近线于B，若2AF FB ，则双曲线C的离心率为（C） A. 2 B.2C. 2 3 3 D. 14 3 12.抛物线 2 2(0)ypx p的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点， 且满足 2 3 AFB ，设线段AB的中点M在l上的投影为N，则 | | MN AB 的最大值是 （ C ） A3B 3 2 C 3 3 D 3 4 二、填空题二、填空题( (本大题共本大题共 4 4 小题，每题小题，每题 5 5 分，共分，共 2020 分分) ) 13直线yx被圆 22 (2)4xy截得的弦长为_2 2_. 14.若函数)(xf的导函数为)( ' xf，且 3' )2(2)(xxfxf，则)2( ' f_-12_ 15.已知椭圆 22 1 4 xy m 与双曲线 2 2 1 y x n 有公共的焦点 21,F F，若 P 为两曲线的一个交 点，则| 21 PFPF_3_. 16.函数2) 1( 3 xaxy在 R 上是减函数,则实数a的取值范围为1a. 三、解答题（本题共 6 小题，共 70 分 ） 17.命题p：关于x的不等式 2 240xax，对一切xR恒成立。 命题q：方程 2 4yax)(Ra表示焦点在点(1,0)的左侧的抛物线，若pq为真命题， pq为假命题，求实数a的取值范围. 若p为真命题，则0164 2 a，所以22a 若q为真命题，则0a或10 a 3 由题设，命题p和q必有一真一假 （1）若p真q假，则 ? ? 10 22 aa a 0a或21 a （2）若p假q真，则 ? ? 100 22 aa aa 2a 综上所述，2a或0a或21 a 18.已知抛物线的顶点在原点，对称轴是 x 轴，抛物线上的点 M（3，m）到焦点的距离等 于 5，求抛物线的方程和 m 的值 62的值为m 19.已知函数 1 ln)( x a xxf,a为常数. (1)若 2 9 a,求函数)(xf)在1,e上的值域.(e 为自然对数的底数,e2.72) (2)若函数xxfxg)()(在1,2上为单调递减函数,求实数a的取值范围. (1)由题意 f'(x)=1 ?- ? (?+1)2,当 a= 9 2时,f'(x)= 1 ?- 9 2 (?+1)2= (?-2)(2?-1) 2?(?+1)2 . x1,e,f(x)在1,2)上为减函数,在2,e上为增函数, 又 f(2)=ln 2+ 3 2,f(1)= 9 4,f(e)=1+ 9 2e+2,比较可得 f(1)f(e),f(x)的值域为 ln2 + 3 2 , 9 4 . (2)由题意得 g'(x)= 1 ?- ? (?+1)2+10 在1,2上恒成立, a(?+1) 2 ? +(x+1)2=x2+3x+1 ?+3 恒成立, 设 h(x)=x2+3x+1 ?+3(1x2), 当 1x2 时,h'(x)=2x+3- 1 ?20 恒成立, h(x)max=h(2)=27 2 ,a27 2 , 即实数 a 的取值范围是 27 2 ,+ . 20.如图，在四棱锥PABCD中，PD 底面ABCD，底面ABCD为 正方形，PDDC，,E F分别是,AB PB的中点 (1)在平面PAD内求一点G，使GF 平面PCB，并证明你的结论； (2)求DB与平面DEF所成角的正弦值 (1)设( ,0, )G xz，则G平面PAD，(,) 222 aaa FGxz ， A E B P CD F 4 y xO A B P (,) ( ,0,0)()0 2222 aaaa FG CBxzaa x ，所以 2 a x ， (,) (0, )0 222 aaa FG CPxza aaz ，所以0z G点坐标为(,0,0) 2 a ，即G点为AD的中点 (2)设平面DEF的法向量为( , , )x y zn 由 0 0 DF DE n n 得， ( , , ) (,)0 2 2 2 ( , , ) ( ,0)0 2 a a a x y z a x y za 即 ()0 2 0 2 a xyz a axy ， 取1x ，则2y ，1z ，得(1, 2,1)n 3 cos, 6|26 BDa BD BDa n n n| ， 所以，DB与平面DEF所成角的正弦值的大小为 3 6 21.如图，椭圆E： 22 22 +1(0) xy ab ab 的离心率是 2 3 ，过点 P（0,1）的动直线l与椭 圆相交于 A，B 两点，当直线l平行x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为 4 (1)求椭圆E的方程； (2)设O为坐标原点， 是否存在常数， 使得PBPAOBOA为定值？若存在， 求的 值；若不存在，请说明理由 (1) 解：由题设知 2 3 a c , ac 2 3 , 2222 4 1 acab, 设椭圆方程为 1 4 2 2 2 2 b y b x ，令1y，得12 2 bx，414 2 b 解得2 2 b，所以椭圆E的方程为 1 28 22 yx (2)当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 ykx1，A，B 的坐标分别为(x1，y1)， (x2，y2)联立 1 28 1 22 yx kxy 得(4k21)x28kx40 其判别式(8k)216(4k21)0，所以 x1x2 14 8 2 k k ，x1x2 14 4 2 k 从而OA ·OB PA ·PBx 1x2y1y2x1x2(y11)(y21) (1)(1k2)x1x2k(x1x2)1 14 )34(8-4- 2 2 k k）（ 5 所以，当 3 1 , 342即时， OA ·OB PA ·PB 3 5 此时，OA ·OB PA ·PB 3 5 为定值 当直线 AB 斜率不存在时，此时)2, 0(),2, 0(BA, OA ·OB PA ·PB )21 ( 3 1 2 3 5 故存在常数 3 1 -，使得OA ·OB PA ·PB为定值 3 5 22.已知函数0,ln)( 2 aaxxxxf （1）若)(xf在1x处取得极值，求a的值； （2）设xaxfxg)3()()(，试讨论函数)(xg的单调性；