四川省2018-2019学年高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

20182018 年秋四川省棠湖中学高二年级期末考试年秋四川省棠湖中学高二年级期末考试 数学（文）试卷数学（文）试卷 第第卷（共卷（共 6060 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1.下列格式的运算结果为纯虚数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 A、； B、； C、； D、； 所以纯虚数的是 C。故选 C。 2.从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人参加一项活动，则甲被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ，故选 C。 3.命题“”的否定是 A. 不存在 B. C. D. 【答案】D 【解析】 命题的否定是 故选 D 4.容量为 100 的样本，其数据分布在，将样本数据分为 4 组：，得到频率分 布直方图如图所示，则下列说法不正确的是（ ） A. 样本数据分布在的频率为 0.32 B. 样本数据分布在的频数为 40 C. 样本数据分布在的频数为 40 D. 估计总体数据大约有 10%分布在 【答案】D 【解析】 【分析】 根据频率分布直方图对给出的四个选项逐一分析、判断后可得结果 【详解】对于 A，由图可得样本数据分布在的频率为，所以 A 正确 对于 B，由图可得样本数据分布在的频数为，所以 B 正确 对于 C，由图可得样本数据分布在的频数为，所以 C 正确. 对于 D，由图可估计总体数据分布在的比例为，故 D 不正确 故选 D 【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查识图和用图解题的能力，解题时容易出现的错误是误认为 图中小长方形的高为频率，求解时要注意这一点 5.已知点 M（4，t）在抛物线上，则点 M 到焦点的距离为（ ） A. 5 B. 6 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 由抛物线定义得点 M 到焦点的距离为 ,而 ,所以点 M 到焦点的距离为 ,选 A. 6.若平面中，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 时可以相交,所以充分性不成立;当,时成立,这是因为由可得 内一直线 垂 直 ,而,可得 内一直线 ,因此 ,即得.选 B. 7.已知椭圆的两个焦点是，点 在椭圆上，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ，焦点在 轴上，则 由椭圆定义：， ，可得， 由，故为直角三角形 的面积为 故选 8.已知直三棱柱中，则与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 找出的中点 ，由于， 过点 作于点 直三棱柱中， 平面， 平面，则点 是点 在平面的投影 故是与平面的夹角 设， 在中，求得， 在中，求得 则 故选 9.长方体中，则长方体的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 长方体外接球的直径长为体对角线长，即 ,所以 ，故选 C. 10.若点（5，b）在两条平行直线 6x-8y+1=0 与 3x-4y+5=0 之间，则整数b的值为 A. 4 B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先用待定系数法求出过点（5，b）且与两直线平行的直线的方程，再利用直线在y轴上的截距大于 且小 于 ，求出整数b的值 【详解】设过点（5，b）且与两直线平行的直线的方程为 3x4y+c0， 把点（5，b）代入直线的方程解得c4b15， 过点（5，b）且与两直线平行的直线的方程为 3x4y+4b150， 由题意知，直线在y轴上的截距满足：， b5， 又b是整数，b4 故选：A 【点睛】本题考查用待定系数法求平行直线的方程，以及直线在y轴上的截距满足的大小关系,属于中档 题 11.已知点为椭圆上一点，分别为椭圆 的左右焦点，当时， ，则椭圆 的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 因为 ，又，所以 ，化简得： ，所以 ，故选 A. 点睛：椭圆中焦点三角形性质很多，本题中考查了焦点三角形放入面积性质，点 在椭圆上时， ，类似的，在双曲线中，记住此结论可以加快解题速度. 12.已知椭圆 ：的右焦点为 ，点在椭圆 上，若点 满足且，则的最小 值为（ ） A. B. 3 C. D. 1 【答案】A 【解析】 依题意知，点 在以为圆心，半径为 1 的圆上，为圆的切线 设， 当时，取得最小值 4，即 的最小值为 故选 A 第第卷（共卷（共 9090 分）分） 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13.若命题“存在实数 ，使”为假命题，则实数 的取值范围为_ 【答案】 【解析】 由题意，解得。 14.经过点（1，2）的抛物线的标准方程是_ 【答案】 【解析】 设抛物线的标准方程为 或 ，将（1，2）代入得 ，从而所求标准方程是 15.已知 为双曲线的左焦点，为 上的点.若的长等于虚轴长的 2 倍，点在线段上， 则的周长为_ 【答案】40 【解析】 由双曲线方程得，则虚轴长为 12，线段过点为双曲线的右焦点， ，,的周长为 16.当实数满足不等式组时，恒成立，则实数 的取值范围是_ 【答案】； 【解析】 绘制不等式组表示的可行域，不等式即：，很明显，则：恒成 立，即， 目标函数表示可行域内的点与点连线的斜率的相反数，观察可知，目标函数在 点处取得最大值， 据此可得实数 的取值范围是. 三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17.已知三个班共有学生 100 人，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获取了部分学生一周 的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）. 班 67 班 678 班 5678 （）试估计 班学生人数； （）从 班和 班抽出来的学生中各选一名，记 班选出的学生为甲， 班选出的学生为乙，若学生锻炼 相互独立，求甲的锻炼时间大于乙的锻炼时间的概率. 【答案】 （I）；（II） . 【解析】 【分析】 （）由已知先计算出抽样比，进而可估计C班的学生人数； （）根据古典概型概率计算公式，可求出该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率 【详解】 （I）由分层抽样可得 班人数为：（人） ； （II）记从 班选出学生锻炼时间为 ， 班选出学生锻炼时间为 ，则所有为 ，共 9 种情况，而满足的， 有 2 种情况，所以，所求概率. 【点睛】本题考查的知识点是用样本的频率分布估计总体分布，古典概型，难度中档 18.已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点. （）求双曲线 的方程； （）已知双曲线 的左右焦点分别为，直线 经过，倾斜角为， 与双曲线 交于两点，求 的面积. 【答案】 （1）（2） 【解析】 试题分析：（1）由题易知，双曲线 方程为；（2）直线的方程为，由弦长公式得 ，所以 试题解析： （1）设所求双曲线 方程为 代入点得，即 所以双曲线 方程为，即. （2）.直线的方程为.设 联立得 满足 由弦长公式得 点到直线的距离. 所以 19.如图，四棱锥中，底面为直角梯形，平面底面， ，. （）证明：平面平面； （）若是面积为的等边三角形，求四棱锥的体积. 【答案】 （I）详见解析；（II）. 【解析】 【分析】 （I）根据平面 PAD底面 ABCD 可得 CD平面 PAD，故而平面 PAD平面 PCD； （II）设 AD 的中点为E，连接PE，BE，证明PE平面ABCD，根据勾股定理计算AE，BE，从而可计算出棱 锥的体积 【详解】 （）平面底面，平面底面， 平面 又平面 平面平面 （）如图， 设的中点为 ，连接， 平面底面，平面底面 底面 是面积为的等边三角形 是的中点， 四边形为矩形， ，故 是等腰直角三角形，故 在直角三角形中有 直角梯形的面积为 【点睛】本题考查了面面垂直的性质与判定，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题 20.简阳羊肉汤已入选成都市级非遗项目，成为简阳的名片当初向各地作了广告推广，同时广告对销售收 益也有影响在若干地区各投入 4 万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示） 由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从 0 开始计数的 （）根据频率分布直方图，计算图中各小长方形的宽度； （）根据频率分布直方图，估计投入 4 万元广告费用之后，销售收益的平均值（以各组的区间中点值代 表该组的取值） ； （）按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表： 广告投入x（单位：万元） 12345 销售收益y（单位：百万元） 2327 表中的数据显示，x与y之间存在线性相关关系，请将（）的结果填入空白栏，并计算y关于x的回归 方程回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， 【答案】 （I） ；（II） ；（III）空白处填 ，回归直线方程为. 【解析】 【分析】 （）根据频率分布直方图，由频率分布直方图各小长方形面积总和为 1，可计算图中各小长方形的宽度； （）以各组的区间中点值代表该组的取值，即可计算销售收益的平均值； （）求出回归系数，即可得出结论 【详解】 （）设各小长方形的宽度为 ，由频率分布直方图各小长方形面积总和为 1，可知 ，故； （）由（）知各小组依次是， 其中点分别为，对应的频率分别为， 故可估计平均值为； （）由（）知空白栏中填 5 由题意可知， ， ， 根据公式，可求得， 即回归直线的方程为 【点睛】本题考查回归方程，考查频率分布直方图，考查学生的读图、计算能力，属于中档题 21.已知抛物线的焦点为 ，抛物线 与直线的一个交点的横坐标为 4. （1）求抛物线 的方程； （2）过点 的直线 与抛物线 交于两点， 为坐标原点，若，求的面积. 【答案】 （1）.（2） 【解析】 试题分析：（1）可先确定抛物线与直线的一个交点坐标，将其代入拋物线方程，可得抛物线 的方程； （2）根据，利用抛物线的定义可得，则 的方程为，将其代入拋物线方程，联立 ，消去 得，求出的坐标，利用三角形面积公式可得的面积. 试题解析：（1）易知直线与抛物线的交点坐标为， ，抛物线方程为. （2）由（1）知，抛物线的焦点为，准线为，则，则 的横坐标为 2.代入 中，得，不妨令，则直线 的方程为，联立，消去 得 ，可得，故 22.椭圆（）的离心率是，点在短轴上，且。 （1）球椭圆 的方程； （2）设 为坐标原点，过点 的动直线与椭圆交于两点。是否存在常数 ，使得为定 值？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由。 【答案】 （1）；（2）见解析. 【解析】 （）由已知，点 C，D 的坐标分别为（0，b） ， （0，b） 又点 P 的坐标为（0，1） ，且1 于是，解得 a2，b 所以椭圆 E 方程为. （）当直线 AB 斜率存在时，设直线 AB 的方程为 ykx1 A，B 的坐标分别为（x1，y1） ， （x2，y2） 联立，得（2k21）x24kx20 其判别式（4k）28（2k21）0 所以 从而x1x2y1y2x1x2（y11） （y21） （1） （1k2）x1x2k（x1x2）