2019高考数学压轴解答题(二)

压轴解答题压轴解答题( (二二) ) 1.设椭圆 + =1(ab0)的右顶点为 A,上顶点为 B.已知椭圆的离心率为,|AB|=. 2 2 2 2 5 3 13 (1)求椭圆的方程; (2)设直线 l:y=kx(kx10,点 Q 的坐标为(-x1,-y1).由 BPM 的面积是BPQ 面积的 2 倍,可得|PM|=2|PQ|,从而 x2-x1=2x1-(-x1),即 x2=5x1. 易知直线 AB 的方程为 2x+3y=6,由方程组消去 y,可得 x2=.由方程组 2 + 3 = 6, = , ? 6 3 + 2 消去 y,可得 x1=. 2 9 + 2 4 = 1, = , ? 6 92+ 4 由 x2=5x1,可得=5(3k+2),两边平方,整理得 18k2+25k+8=0,解得 k=- ,或 k=- . 92+ 4 8 9 1 2 当 k=- 时,x2=-90 时,g'(x)0,所以 g(x)在(0,+)上单调递增,且 g(1)=0. 所以当 x(0,1)时,g(x)0, 所以当 x(0,1)时,f '(x)0. 故函数 f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增. (2)由 f(x)=ex-aln x-e,得 f '(x)=ex- . 当 a0 时,f '(x)=ex- 0,所以 f(x)在1,+)上单调递增,f(x)min=f(1)=0.(符合题意) 当 a0 时,f '(x)=ex- ,当 x1,+)时,exe. (i)当 a(0,e时,因为 x1,+),所以 e,f '(x)=ex- 0, 所以 f(x)在1,+)上单调递增,f(x)min=f(1)=0.(符合题意) (ii)当 a(e,+)时,存在 x01,+),满足 f '(x0)=- =0, 0 0 所以 f(x)在1,x0)上单调递减,在(x0,+)上单调递增,故 f(x0)0, x1+x2=-,x1x2=. 8 42+ 1 42 - 4 42+ 1 +y1y2=0, 12 4 +(kx1+b)(kx2+b)=0,得 2b2-4k2=1,满足 0. 12 4 SPOQ= ·|PQ|= |b|·=2|b|·=1. 1 2 | 1 + 2 1 2 ( 1+ 2) 2 - 4 12 42+ 1 - 2 42+ 1 POQ 的面积 S 为定值. 4. 解析 (1)f '(x)=(x0), - 1 2 当 a0 恒成立,函数 f(x)在(0,+)上单调递增; 当 a0 时,由 f '(x)=0,得 x , - 1 2 1 由 f '(x)=0 时,函数 f(x)在上单调递增,在上单调递减. ( 1 , + ) ( 0, 1 ) (2)当 x时,函数 g(x)=(ln x-1)ex+x-m 的零点可转化为 1 , 当 x时,方程(ln x-1)ex+x=m 的根. 1 , 令 h(x)=(ln x-1)ex+x,则 h'(x)=ex+1. ( 1 + - 1) 由(1)知当 a=1 时,f(x)=ln x+ -1 在上单调递减,在(1,e)上单调递增, 1 ( 1 ,1 ) 当 x时,f(x)f(1)=0. 1 , +ln x-10 在 x上恒成立. 1 1 , h'(x)=ex+10+10, ( 1 + - 1) h(x)=(ln x-1)ex+x 在 x上单调递增. 1 , h(x)min=h=-2+ ,h(x)max=e. ( 1 ) 1 1 当 me 时,函数 g(x)在上没有零点; 1 1 1 , 当-2+ me 时,函数 g(x)在上有一个零点. 1 1 1 ,