辽宁省2017届高三下学期最后一次模拟考试数学（文）试题（解析版）

鞍山一中鞍山一中 20172017 届高三七模考试届高三七模考试 数学（文科）试卷数学（文科）试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分，所给选项中只有一个正确）分，所给选项中只有一个正确） 1.已知，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由题意，所以，故选 A 2.已知复数 满足，则 =（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由题意，所以，故选 A 3.已知且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 试题分析：， 考点：平方关系、倍角关系 4.已知变量 ， 满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 作出可行域如图：根据图形，当目标函数过点 时， 有最小值，故选 B 5. 200 辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数，中位数的估计值为（ ） A. B. C. 65,63.5 D. 65,65 【答案】D 【解析】 试题分析：选出直方图中最高的矩形求出其底边的中点即为众数；求出从左边开始小矩形的面积和为 0.5 对应的横轴的左边即为中位数.最高的矩形为第三个矩形，所以时速的众数为 65；前两个矩形的面积为 （0.01+0.02）×10=0.3，由于 0.50.3=0.2，则，中位数为 60+5=65. 故选 D. 考点：众数、中位数、平均数；频率分布直方图 6.设是公差不为 0 的等差数列，满足，则的前 10 项和（ ） A. -10 B. -5 C. 0 D. 5 【答案】C 【解析】 分析：根据题意变形可得：，整理可得 a5+a6=0，再利用等差数列通项公式求和公式 及其性质即可得出 详解: ：a42+a52=a62+a72，化简可得：， 即 2d（a6+a4）+2d（a7+a5）=0，d0 a6+a4+a7+a5=0， a5+a6=a4+a7， a5+a6=0， S10=5（a5+a6）=0， 故选：C 点睛：在处理等差数列问题时，记住以下性质，可减少运算量、提高解题速度： 若等差数列的前 项和为，且，则 若，则； 、 成等差数列 7.圆上的点到直线的最大距离与最小距离的和为（ ） A. 18 B. C. D. 【答案】C 【解析】 因为圆心，所以圆心到直线的距离，所以圆上的点到直线的距离的最大 值为，应选答案 C 。 8. 执行右面的程序框图，如果输入的 t1，3，则输出的 s 属于( ) A. 3,4 B. 5,2 C. 4,3 D. 2,5 【答案】A 【解析】 试题分析：此程序为分段函数，当时，当时， ，所以函数的值域为：，故选 A 考点：程序框图 9.设，则 ， ， 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 因为，所以；又， 故，所以，应选答案 D。 10.如图是某四棱锥的三试图，且该四棱锥的顶点都在同一球面上，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 如图四棱锥就是题中的几何体，它是正方体中的一部分，正方体棱长为 4，记正方体棱长为 ， 四棱锥外接球半径为 ，则，解得，所以，故选 C 11.抛物线，直线 经过抛物线的焦点 ，与抛物线交于 ， 两点（ 点在第一象限）且，则 （ 为坐标原点）的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 设直线方程为，与抛物线方程联立可得：， 结合题意可得：，据此有：， AOB 的面积为：. 本题选择 B 选项. 点睛点睛： ：在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况； 中点弦问题，有时可以利用“点差法”，但不要忘记验证 0 或说明中点在曲线内部. 12.已知函数在区间内任取两个实数 ， ，且，不等式恒成立， 则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 不等式可变化为，令 ，所以，对在区间内任取两 个实数恒成立。又因为 ，当时，那么，则；当 时，那么，则。综上所述，函数在区间上单调递增，则 有在区间上单调恒成立。对函数求导得，又因 为在区间上恒有成立，根据分式不等式变换，恒成立可变为 ，再化简得。因为的最小值在处，式子 的值在单调递增，得，所以只需满足，则实数的 取值范围是，故选 A. 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分）分） 13.已知点和向量，若，则点 的坐标为_ 【答案】 【解析】 试题分析：设点，因此，得，得点 考点：平面向量的坐标表示 14.函数的定义域为_ 【答案】 【解析】 令，则，由导函数与原函数的关系可得：当时. 函数的定义域等价于：，或， 求解不等式组可得函数的定义域为. 15.如图，、是（，）的左、右焦点，过的直线 与双曲线的左右两支分别交于点 、 .若为等边三角形，则双曲线的离心率为_ 【答案】 【解析】 试题分析：由题意结合双曲线的定义可知 又因为在中，根据余弦定理得 整理得 考点：本小题主要考查双曲线定义的应用、双曲线的基本量之间的关系和双曲线的离心率以及余弦定理的 应用，考查学生的运算求解能力. 点评：本小题在解题过程中，两次利用双曲线的定义，从而表示出的三条边，进而利用余弦定理求 解. 16.已知的三个内角 ， ， 的对边依次为 ， ， ，外接圆半径为 1，且满足，则面 积的最大值为_. 【答案】 【解析】 由得，则，所以 ，由余弦定理 ，当且仅当时取等号，所以 ，即最大值为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 7 道小题，道小题，2222、2323 题选做一道，多做按第一道记分，分值题选做一道，多做按第一道记分，分值 1010 分，其分，其 他他 5 5 题每题题每题 1212 分共分共 7070 分分. .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.已知数列中，且，成等比数列，数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）设是数列前 项和，求. 【答案】 （1）；（2）. 【解析】 试题分析：（1）依题意， 为等差数列，根据基本元的思想将已知条件转化为，列方程组求得 ，故.（2）利用分组求和法，并将 分成奇数或者偶数两种情况，求得 的值. 试题解析： 解:（1），成等比数列, ，成等差数列. 由，得， ， （2）, . 当 为偶数时，, . 当 为奇数时，, . 18.某中学生物兴趣小组在学校生物园地种植了一批名贵树苗，为了了解树苗生长情况，从这批树苗中随机 地测量了其中 50 棵树苗的高度（单位：厘米）.把这些高度列成了如下的频率分布表： （1）在这批树苗中任取一棵，其高度不低于 80 厘米的概率大约是多少？ （2）这批树苗的平均高度大约是多少？（用各组的中间值代替各组数据的平均值） （3）为了进一步获得研究资料，若从组中移出一棵树苗，从组中移出两棵树苗进行试验研 究，则组中的树苗 和组中的树苗 同时被移出的概率是多少？ 【答案】解：（I）高度不低于 80 厘米的频数是 124=16, 高度不低于 80 厘米树苗的概率为.3 分 (2)树苗的平均高度 6 分 (3)设40，50)组中的树苗为、, 90，100 组中的树苗为 C、D、E、F，则基本事件总数为 12，它们 是： ACD、ACE、ACF、ADE、ADF、AEF BCD、BCE、BCF、BDE、BDF、BEF 12 分 而满足 A、C 同时被移出的事件为 ACD、ACE、ACF 共 3 种 13 分 树苗 A 和树苗 C 同时被移出的概率14 分 【解析】 略 19.是 的直径，点 是 上的动点，过动点 的直线垂直于 所在的平面， ， 分别是， 的中点. （1）试判断直线与平面的位置关系，并说明理由； （2）若已知，当三棱锥体积最大时，求点 到面的距离. 【答案】 （1）证明见解析；（2）. 【解析】 试题分析：（1）运用线面垂直的判定定理推证；（2）借助题设条件和基本不等式等知识求解. 试题解析: （1）证明：， 面， 分别为中点， ， 面 （说明：若只说明与面相交给 2 分） （2）设，则， ， 当且仅当时取等号 体积最大时 ，面积为， 设所求的距离为 ，由等体积法知 考点：空间直线与平面的垂直关系及点面距离的计算 【易错点晴】立体几何是高中数学的重要内容之一,也历届高考必考的题型之一.本题考查是空间的直线与 平面的垂直问题和点与平面的距离的计算问题.解答时第一问充分借助已知条件与判定定理,探寻直线与 平行,再推证与平面垂直即可.关于第二问中的最值问题,解答时巧妙运用基本不等式,探求出三棱 锥的体积取得最大值时成立的条件,然后运用等积法求出点到平面的距离. 20.设，. （1）令，求的单调区间； （2）当时，证明：. 【答案】 （I）详见解析；（II）详见解析. 【解析】 试题分析：（）求得函数的解析式，求其导数，对参数分为和两种情形进行讨论，得其单调 区间；（）要证成立，即证，由（）得，利用导数判断函数 的单调性，求出最大值即可. 试题解析： 解：（）由,. 可得. 当时, 时，函数单调递增； 当时，时，函数单调递增；时，函数单调递减； 所以，当时，函数单调递增区间为；当时，函数单调递增区间为，单调递减区 间为. （）只要证明对任意，. 由（）知，在取得最大值， 且. 令， 则在上单调递增，. 所以当时，即. 21.已知 为坐标原点，是椭圆上的点，且，设动点 满足 . （1）求动点 的轨迹 方程； （2）若直线与曲线 相交于 ， 两个不同点，求面积的最大值. 【答案】 （1）（2）面积的最大值为. 【解析】 试题分析： (1)利用向量关系可得动点 的轨迹 的方程为. (2)联立直线与椭圆的方程可得面积函数 ，注意等 号成立的条件. 试题解析： 解：（1）设点，则由，得，即 ，因为点， 在椭圆，所以， ，故 ， ， 由题意知，所以， 即动点 的轨迹 的方程为. （2）由曲线 与直线 联立得， 消 得，因为直线 与曲线 交于 ， 两点， 所以，又，所以. 设，则， 因为点 到直线：的距离， ， ，所以 ， ，当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值为. 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系的原点 为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系取相同的单位长度，已知 直线 的参数方程是（ 为参数，）.曲线 的极坐标方程为. （1）求曲线 的直角坐标方程； （2）设直线 与曲线 相交于 ， 两点，当 变化时，求的最小值. 【答案】 （1）；（2）2 【解析】 试题分析： （1）由公式可化极坐标方程为直角坐标方程； （2）把直线 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程，得 的一元二次方程，利用 的几何意义，有 ，由此可求得最小值 试题解析： （1）由，得， 所以曲线 的直角坐标方程为. （2）将直线 的参数方程代入，得. 设 、 两点对应的参数分别为 、 ，则， ， ，当时，取最小值 2. 23.选修 4-5：不等式选讲. 设函数. （1）若关于 的不等式存在实数解，求实数 的取值范围； （2）若，恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1）（2）或. 【解析】 试题分析：（1）把关于 的不等式存在实数解，转化为，去掉绝对值，得到函数的最小值， 即可求解结论； （2）求得的最小值，利用，求解不等式，即可求