2018年全国高等院校统一招生考试北京文科数学试卷（含答案）

绝密启封并使用完毕前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文） （北京卷） 本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考 试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知集合 A=(|1，则当时，； 1 (,1)x a ( )0fx 当时，.(1,)x( )0fx 所以在 x=1 处取得极小值.( )f x 若，则当时，1a (0,1)x110axx 所以.( )0fx 所以 1 不是的极小值点.( )f x 综上可知，a 的取值范围是.(1,) 方法二：.( )(1)(1)exfxaxx （1）当 a=0 时，令得 x=1.( )0fx 随 x 的变化情况如下表：( ),( )fxf x x(,1)1(1,) ( )fx+0 ( )f x 极大值 在 x=1 处取得极大值，不合题意.( )f x （2）当 a0 时，令得.( )0fx 12 1 ,1 a xx 当，即 a=1 时， 12 xx 2 ( )(1) e0 x fxx 在上单调递增，( )f xR 无极值，不合题意.( )f x 当，即 01 时，随 x 的变化情况如下表： 12 xx( ),( )fxf x x 1 (,) a 1 a 1 (,1) a 1 (1,) ( )fx+0 0+ ( )f x 极大值 极小值 在 x=1 处取得极小值，即 a1 满足题意.( )f x （3）当 a0 时，令得.( )0fx 12 1 ,1 a xx 随 x 的变化情况如下表：( ),( )fxf x x 1 (,) a 1 a 1 (,1) a 1 (1,) ( )fx0+ 0 ( )f x 极小值 极大值 在 x=1 处取得极大值，不合题意.( )f x 综上所述，a 的取值范围为.(1,) 20 （共 14 分） 【解析】 （）由题意得，所以， 22 2c 2c 又，所以，所以， 6 3 c e a 3a 222 1bac 所以椭圆的标准方程为 M 2 2 1 3 x y （）设直线的方程为， AB yxm 由消去可得， 2 2 1 3 yxm x y y 22 46330xmxm 则，即， 222 364 4(33)48 120mmm 2 4m 设，则， 11 ( ,)A x y 22 (,)B xy 12 3 2 m xx 2 12 33 4 m x x 则， 2 222 121212 64 |1|1()4 2 m ABkxxkxxx x 易得当时，故的最大值为 2 0m max |6AB|AB 6 （）设， 11 ( ,)A x y 22 (,)B xy 33 (,)C xy 44 (,)D xy 则 ， ， 22 11 33xy 22 22 33xy 又，所以可设，直线的方程为， ( 2,0)P 1 1 1 2 PA y kk x PA 1( 2)yk x 由消去可得， 1 2 2 (2) 1 3 yk x x y y 2222 111 (1 3)121230kxk xk 则，即， 2 1 13 2 1 12 1 3 k xx k 2 1 31 2 1 12 1 3 k xx k 又，代入式可得，所以， 1 1 1 2 y k x 1 3 1 712 47 x x x 1 3 1 47 y y x 所以，同理可得 11 11 712 (,) 4747 xy C xx 22 22 712 (,) 4747 xy D xx 故， 33 71 (,) 44 QCxy 44 71 (,) 44 QDxy 因为三点共线，所以， ,Q C D 3443 7171 ()()()()0 4444 xyxy 将点的坐标代入化简可得，即 ,C D 12 12 1 yy xx 1k