吉林省长春市2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题（解析版）

吉林省长春外国语学校吉林省长春外国语学校 2018-20192018-2019 学年高一上学期期末考试学年高一上学期期末考试 数学试题数学试题 本试卷分第本试卷分第卷（选择题）和第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共卷（非选择题）两部分，共 4 4 页。考试结束后，将答页。考试结束后，将答 题卡交回。题卡交回。 注意事项：注意事项： 1.1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码 粘贴区。粘贴区。 2 2选择题必须使用选择题必须使用 2B2B 铅笔填涂；非选择题必须使用铅笔填涂；非选择题必须使用 0.50.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体毫米黑色字迹的签字笔书写，字体 工整、笔迹清楚。工整、笔迹清楚。 3 3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、 试题卷上答题无效。试题卷上答题无效。 4 4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 第第卷卷 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分( (在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的) ) 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用三角函数诱导公式直接求解即可。 【详解】由题意知，. 故答案为 D. 【点睛】本题考查了三角函数诱导公式的应用，属于基础题。 2.已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由得：，故，故选 C. 点睛：合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数 还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十 字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.解指数或对数不 等式要注意底数对单调性的影响.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在 求交集时注意区间端点的取舍. 3.函数在下列区间一定有零点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意知，即，可以知道函数在区间上一定有零点。 【详解】由题意知， 所以， 故函数在上一定有零点。 故答案为 B. 【点睛】本题考查了函数零点存在性定理的应用，属于基础题。 4.下列函数中，与函数相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 对选项逐个分析，其中选项 ACD 中函数的定义域与已知函数的定义域都不同，只有 B 选项满足题意。 【详解】函数的定义域为， 对于选项 A，函数，定义域为，与已知函数的定义域不同； 对于选项 B，函数，与已知函数相同； 对于选项 C，函数，与已知函数定义域不同， 对于选项 D，函数，定义域为，与已知函数定义域不同。 故答案为 B. 【点睛】函数具有三要素：定义域，对应关系，值域，两函数相同，则它们的三要素完全一样。 5.下列函数中,在上为减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 对选项逐个分析在上的单调性，即可选出答案。 【详解】对于选项 A，函数，在上单调递增，不满足题意； 对于选项 B，函数，在上单调递增，不满足题意； 对于选项 C，函数，在上单调递增，不满足题意； 对于选项 D，函数，在上单调递减，符合题意。 故答案为 D. 【点睛】本题考查了函数的单调性，属于基础题。 6.对于函数，下列命题正确的是（ ） A. 周期为的偶函数 B. 周期为的奇函数 C. 周期为 的偶函数 D. 周期为 的奇函数 【答案】D 【解析】 【分析】 函数，然后可以求出它的周期及奇偶性，即可选出答案。 【详解】因为函数，,且是奇函数，故答案为 D. 【点睛】本题考查了三角函数的性质及诱导公式，属于基础题。 7.设则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 结合指数函数与对数函数的性质，可以知道，从而选出答案。 【详解】由题意知，且，即，所以 . 故答案为 C. 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的性质的运用，属于基础题。 8.将函数的图象上所有点向左平移 个单位，再将所得的图象的所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，得到的图象对应的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先将函数的图象先向左平移 个单位，写出得到的表达式，再将所得的图象的所有点的横坐标 伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，写出对应的表达式，即可得到答案。 【详解】由题意， 将函数的图象上所有点向左平移 个单位，得到， 将得到的图象的所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，得到. 故答案为 A. 【点睛】本题考查了三角函数图象的平移与变换，属于基础题。 9.已知，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由，可以求出 的值，然后代入即可得到答案。 【详解】因为，所以，则 . 故答案为 A. 【点睛】本题考查了三角函数的化简及求值计算，属于基础题。 10.函数的图象关于原点成中心对称，则 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 函数的图象关于原点成中心对称，所以，即， 所以kZ.Z.由此可知，A,B,D 都对，C 不可能， 故选 C. 点睛：研究三角函数的性质，最小正周期为，最大值为. 求对称轴只需令，求解即可， 求对称中心只需令，单调性均为利用整体换元思想求解. 11.已知 是奇函数，且 时， ，则当 时， 的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ，则，是奇函数，即 ，故选 B. 12.已知函数的定义域为 ，当时，当时，当时， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由时，可以得到，由时，得到，结合 时，可以求出的值，进而可以得到答案。 【详解】因为当时，则， 而当时，则， 又因为当时， 故， 所以答案为 A. 【点睛】本题考查了分段函数的性质，奇函数的性质，周期函数的性质，属于基础题。 第第卷卷 二、填空题：（本题共二、填空题：（本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分）分） 13.若角 的终边经过点,则的值为_. 【答案】 【解析】 点 ， 14.函数且的图象必过定点_. 【答案】 【解析】 当时， 函数且的图象必过定点 故答案为： 15.已知,则_； 【答案】 【解析】 【分析】 由可以得到，再求出的表达式即可。 【详解】因为，所以， 又因为，所以. 所以. 【点睛】本题考查了函数解析式的求法，属于基础题。 16.若函数的定义域为，则函数的定义域为_. 【答案】 【解析】 【分析】 由函数的定义域为，可知，由对数的真数大于 0，可知，联立求解即可。 【详解】由题意可知，解得. 故函数的定义域为 【点睛】本题考查了对数函数的定义域，及复合函数的定义域，属于基础题。 三、解答题三、解答题: :解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.求下列代数式值： （1） （2） 【答案】 （1） （2） 【解析】 【分析】 利用对数式及指数式的运算法则求解即可。 【详解】 （1）. （2）. 【点睛】本题考查了对数式及指数式的运算，属于基础题。 18.已知 ,求下列各式的值： (1) ； (2) . 【答案】 （1） （2） 【解析】 【分析】 由题意可知，则，可知，进而可以求出的值，再结合 ，可求出和的值，进而可以求出的值。 【详解】 （1）由题意，若，则，故， 则， 解得. （2）由（1）知， 则，解得或者， 所以. 【点睛】本题考查了同角三角函数基本关系的应用，属于基础题。 19.已知函数的定义域为集合 ， （1）若，求 的值； （2）若全集，求及 【答案】 （1）；（2）；. 【解析】 【分析】 先求出函数的定义域，也就是集合 ，对于（1） ， 是 的子集，可求出 的范围；对于（2） ，将 代入集合 中，利用集合之间的关系求解即可。 【详解】因为函数，则，解得， 所以集合. （1）因为， 所以. （2）因为，所以， 由于全集， 则， 则. 【点睛】本题考查了函数定义域的求法，子集、交集、补集等相关知识，属于中档题。 20.已知是定义域为的奇函数，当时，. （1）写出函数的解析式； （2）若方程恰有 个不同的解，求 的取值范围 【答案】 （1）；（2） 【解析】 试题分析：（1）根据奇函数性质得时 ，再代入对应解析式得 ，最 后按分段函数形式写函数解析式， （2）根据函数图像可得满足条件 的取值范围 试题解析：(1)当x(，0)时，x(0，)， 因为yf(x)是奇函数，所以f(x)f(x)(x)22(x)x22x， 所以f(x) (2)当x0，)时，f(x)x22x(x1)21，最小值为1； 当x(，0)时，f(x)x22x1(x1)2，最大值为 1。 所以据此可作出函数yf(x)的图象(如图所示)，根据图象，若方程f(x)a恰有 3 个 不同的解，则a的取值范围是(1,1)。 21.函数的一段图象如右图所示： （1）求函数的解析式及其最小正周期； （2）求使函数取得最大值的自变量 的集合及最大值； （3）求函数在的单调递增区间. 【答案】 （1），；（2）时，；（3） 【解析】 【分析】 （1）由图象可知，结合，可以求出，当时，函数取得最大值 2，代入解 析式可求得，即可得到函数的解析式及最小正周期；（2）结合正弦函数的性质，当 时，函数取得最大值 2，求解即可；（3）结合正弦函数的单调性，可求出函数 的单调递增区间，进而求出函数在区间上的单调递增区间。 【详解】 （1）由图象知，则， 由，可得，结合图象知时，函数取得最大值 2， 则，解得. 所以，. （2）当时，即，。 （3）当时，单调递增， 即时，单调递增， 因为，所以或， 故单调递增区间为。 【点睛】本题考查了正弦函数的图象与性质的综合应用，属于中档题。 22.是否存在实数 ，使得函数在闭区间上的最大值是 ？若存在，求对应的 值？ 若不存在，试说明理由. 【答案】 【解析】 【分析】 化简函数，令，将函数转化为关于 的一元二次函数，讨论在上的单调性，令 它的最大值为 1，求出对应的 值即可确定是否存在。 【详解】因为函数， 令，由于，则， 则原函数可化为，对称轴为， 当时，在上单调递增 ，的最大值为，解得，满足题意； 当时，在上单调递减，的最大值为，解得，满足题意； 当，在时取得最大值为，解得或者，因为，所以与 都不满足题意，故舍去。 综上，存在 的值，当时，使得函数在闭区间上的最大值是 。 【点睛】本题考查了三角函数的性质，及二次函数的性质，属于中档题。