福建省惠安惠南中学2018-2019学年高二12月月考数学（文）试题（解析版）

惠南中学惠南中学 20182018 年秋季高二年年秋季高二年 1212 月月考月月考 数学（文科）试卷数学（文科）试卷 第第卷（选择题）卷（选择题） 一、选择题一、选择题( (每小题只有一个选项符合题意，请将正确答案填入答题卷中。每小题只有一个选项符合题意，请将正确答案填入答题卷中。) ) 1.命题“若，则”的逆否命题是（ ）. A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 试题分析：逆否命题需将条件结论交换后分别否定，所以原命题的逆否命题为：若，则 考点：四种命题 2.已知命题 p：xR，使 tanx1，其中正确的是（ ） A. p：xR，使 tanx1 B. p：xR，使 tanx1 C. p：xR，使 tanx1 D. p：xR，使 tanx1 【答案】A 【解析】 【分析】 利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可 【详解】因为特称命题的否定是全称命题， 所以，命题 p：xR，使 tanx1，p：xR，使 tanx1 故选：A 【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题 3.设 、 是实数，则“”是“”的（ ） A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 试题分析：由不能推出，比如，而即，所以也 不能推出，所以是的既不充分也不必要条件，故选 D. 考点：不等式的性质与充要条件的判断. 4.椭圆的左右焦点为，一直线过F1交椭圆于A、B两点，ABF2的周长为（ ） A. 32 B. 16 C. 8 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 由椭圆的定义得，从而得解. 【详解】由椭圆的定义可知：. ABF2的周长为. 故选 B. 【点睛】本题主要考查了椭圆定义的应用，属于基础题. 5.椭圆的焦距是 2,则实数 的值是( ) A. 5 B. 8 C. 5 或 8 D. 3 或 5 【答案】D 【解析】 【分析】 讨论椭圆的焦点轴，利用，结合焦距即可得解. 【详解】当椭圆的焦点在 x 轴上时有：. 由焦距是 2,可知，所以，解得； 当椭圆的焦点在 y 轴上时有：. 由焦距是 2,可知，所以，解得. 故选 D. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程和椭圆的几何性质，属于基础题. 6.在正项等比数列中， 和为方程的两根，则( ) A. 16 B. 32 C. 6 4 D. 256 【答案】C 【解析】 【分析】 由 a1和 a19为方程 x210x+160 的两根，根据韦达定理即可求出 a1和 a19的积，而根据等比数列的性质 得到 a1和 a19的积等于 a102，由数列为正项数列得到 a10的值，然后把所求的式子也利用等比数列的性质化 简为关于 a10的式子，把 a10的值代入即可求出值 【详解】因为 a1和 a19为方程 x210x+160 的两根， 所以 a1a19a10216，又此等比数列为正项数列， 解得：a104， 则 a8a10a12（a8a12）a10a1034364 故选：C 【点睛】本题考查学生灵活运用韦达定理及等比数列的性质化简求值，是一道基础题 7.已知表示等差数列的前n项和，且，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据等差数列的性质若 m，n，p，qN*，且 m+np+q，则有 am+anap+aq，再结合等差数列的通项公式 可得 a13d，利用基本量表示出所求进而可得答案 【详解】由题意得， 因为 在等差数列an中，若 m，n，p，qN*，且 m+np+q，则有 am+anap+aq 所以，即 a13d 那么 故选：B 【点睛】本题考查了等差数列的性质与等差数列的通项公式，考查了等差数列的前 n 项和公式，属于中档 题 8.已知,的等比中项是 1，且，则的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】 由等比中项定义得 ，再由基本不等式求最值。 【详解】 的等比中项是 1， ，mn=+= = .当且仅当 时，等号成立。 故选 B。 【点睛】利用基本不等式求最值问题，要看是否满足一正、二定、三相等。 9.已知实数满足如果目标函数的最小值为，则实数 等于（ ） A. 7 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 考虑特殊的交点再验证，由题设可能在 ，运动变化的观念验证满足，则选 B 10.是椭圆的两个焦点过且垂直于 x 轴的直线交于 两点，且则 的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 设椭圆的方程为，根据题意可得1再由 AB 经过右焦点 F2且垂直于 x 轴且|AB|3 算出 A、B 的坐标，代入椭圆方程得，两式联解即可算出 a24，b23，从而得到椭圆 C 的方程 【详解】设椭圆的方程为， 可得 c1，所以 a2b21 AB 经过右焦点 F2且垂直于 x 轴，且|AB|3 可得 A（1， ） ，B（1，） ，代入椭圆方程得， 联解，可得 a24，b23 椭圆 C 的方程为 故选：A 【点睛】本题给出椭圆的焦距和通径长，求椭圆的方程着重考查了椭圆的标准方程和椭圆的简单几何性 质等知识，属于基础题 11.椭圆 C：的左右顶点分别为，点 P 在 C 上且直线斜率的取值范围是，那么直线 斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 设 P 点坐标为，则， 于是，故. .故选 B. 【考点定位】直线与椭圆的位置关系 12.设的三边长分别为，的面积为，.若， ， ， ， ，则( ) A. 为递减数列 B. 为递增数列 C. 为递增数列，为递减数列 D. 为递减数列，为递增数列 【答案】B 【解析】 由题意得，所以数列是常数列，故 ， ， ，即 是以点，长轴长为的椭圆的焦点三角形， 又，所以的形状和位置如下图所示： ， 数列是首项为，公比为的等比数列， ， 故当时， 点的位置无限趋近于椭圆的短轴的端点 P 的边上的高单调递增， 单调递增， 数列为递增数列选 B 点睛：本题将数列、解析几何等知识相结合，综合考查学生分析问题、解决问题的能力首先，在数列运算 的基础上，要处理好数列之间的关系，掌握数列变化中的确定性；其次，在解析几何特征分 析上，确定出点的几何特征；最后由椭圆的定义将问题加以解决 第第卷卷( (非选择题非选择题) ) 二、填空题二、填空题. . 13.已知数列是等差数列，数列是等比数列，则的值为_. 【答案】 【解析】 试题分析：等差数列的，则 考点：等差数列和等比数列的性质； 14.若实数 ， 满足, 则的最小值为_. 【答案】2 【解析】 【分析】 由已知可得 y，代入要求的式子，由基本不等式可得 【详解】xy1， y x2+2y2x222， 当且仅当 x2，即 x±时取等号， 故答案为：2 【点睛】本题考查基本不等式求最值的方法，属基础题 15.设分别是双曲线的左、右焦点.若双曲线上存在 A，使,且，则双 曲线的离心率为_. 【答案】 【解析】 【分析】 设，根据双曲线定义表示，再利用勾股定理表示，从而可得解. 【详解】设分别是双曲线的左、右焦点. 若双曲线上存在点 A, 使,且， 设 双曲线中， 离心率， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的求解，关键是通过几何条件和双曲线的定义求得 a 和 c 的比值， 属于中档题. 16.设双曲线的右顶点为 A，右焦点为 F，过点 F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于 点 B，则AFB 的面积为 。 【答案】 【解析】 容易求得：，则，A(3,0)，F(5,0)。双曲线的渐近线方程是，则过 F(5,0)，且与渐近线平行的直线方程是，解方程组得 B. 。 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，它们的离心率之和为，求双曲线的方程 【答案】3x2-y2=12（或=1） 【解析】 试题分析：由椭圆方程求得焦点坐标和离心率，即可求到双曲线的 c 与离心率。 试题解析：由已知得双曲线 c=4,椭圆离心率为 则双曲线离心率为 2，得 a=2,故 b2=12 故所求双曲线方程是 3x2-y2=12（或=1） 18.ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，BD=2DC。 （1）求； （2）若，求 【答案】 （1） ；（2） 【解析】 试题分析：（1）由角平分线定理可将 BD=2DC 转化为 AB=2AC，在三角形 ABC 中利用正弦定理可求得 的比值；（2）由内角和定理可得，将 用 表示，代入（1）的结论中可得到关于 的三 角函数值，求得 角 试题解析：（1）由正弦定理得因为 AD 平分 BAC，BD=2DC，所以 （2）因为 所以由（1）知， 所以 考点：1正弦定理解三角形；2同角间的三角函数公式 19.数列的前 项和，若， （）求数列的前 项和； （）设，求数列的前 项和 【答案】 （1）（2） 【解析】 【分析】 （1）令 n1，n2 可得 a，b 的方程，解方程可得 ab1，可得前 n 项和 Sn. （2）先由当 n1 时，a1S1，当 n1 时，anSnSn1，计算可得数列an的通项公式，代入 bn ，再运用数列的求和方法：裂项相消求和即可. 【详解】 （1）由，得；由，得. ，解得，故； （2）当时， 由于也适合. ； . 数列的前 项和 . 【点睛】本题考查数列的通项的求法，注意运用数列的通项和前 n 项和的关系，考查数数列的求和方法： 裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题 20.已知数列的前 项和，数列为等比数列，且满足 （）求数列，的通项公式； （）求数列的前 项和。 【答案】 （1），（2） 【解析】 【分析】 （1）利用数列递推式，再写一式，两式相减，可求数列an的通项公式，确定等比数列的首项与公比可求 结论； （2）利用错位相减法，即可求数列anbn的前 n 项和 Tn 【详解】 （1）由已知 得 当时， 所以 由已知，设等比数列的公比为 ，由得，即 故 （2）设数列的前 项和， 则 . 两式相减得 . 所以 【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项，考查数列的求和，考查错位相减法的运用，属于中档题 21.已知椭圆的离心率为，点在 上 （1）求 的方程 （2）直线 不过原点 且不平行于坐标轴， 与 有两个交点，线段的中点为.证明：直线的斜率与 直线 的斜率的乘积为定值. 【答案】 （1） （2） 【解析】 试题分析：（）由求得,由此可得 C 的方程.（II）把直线方程与椭圆方 程联立得,所以于是 . 试题解析： 解：（）由题意有解得,所以椭圆 C 的方程为. （）设直线,把代入得 故于是直线 OM 的斜率即,所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率乘积为定值. 考点：本题主要考查椭圆方程、直线与椭圆及计算能力、逻辑推理能力. 22.已知椭圆过点，离心率. （）求椭圆的方程； （）设过定点的直线 l 与椭圆相交于 A,B 两点，且为锐角（其中 O 为坐标原点),求直线 l 斜 率的取值范围. 【答案】 （）（II）或 【解析】 【分析】 （）由题意得，从而可解得椭圆的方程； （II）设，设直线 的方程为：，与椭圆联立，利用根与系数的关系代入 求解即可. 【详解】 （）由题意得， 结合，解得 所以，椭圆的方程为. （II）设，则，. 设直线 的方程为：. 由得 即. 所以， . 由解