高中数学总复习（经典归纳）第9讲 常考的函数性质问题教学案

高中数学总复习（经典归纳）第10讲 常考的函数性质问题高考要求:1.理解函数的单调性，会讨论和证明函数的单调性2.理解函数的最大(小)值及其几何意义，并能求函数的最大(小)值.3.函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值等问题是重点，也是难点一、基础知识回顾:1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右图象是上升的自左向右图象是下降的(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间2奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数3、 奇、偶函数的性质（1）普通性质奇偶函数的定义域关于原点对称；奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于y轴对称；奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.若f(x)是奇函数，且在x0处有定义，则；若f(x)为偶函数，则f(x)f(|x|)（2）在公共定义域内两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的和、积都是偶函数；一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数【注】函数的问题，一定要注意“定义域优先”的原则。考察函数的奇偶性同样要优先考虑函数的定义域是否关于原点对称。4函数的周期性（1）周期函数的定义：若为非零实数，对于定义域内的任意，总有恒成立，则叫做周期函数，叫做这个函数的一个周期。（2）周期函数的性质：若是函数的一个周期，则(也是它的一个周期；若的周期中，存在一个最小的正数，则称它为的最小正周期；如果对于函数定义域中的任意，满足，则得函数的最小正周期是。【注】如果对于函数定义域中的任意，满足，则得函数的周期是；如果对于函数定义域中的任意，满足，则得函数的对称轴是。二、题型归纳:题型一、利用函数性质解决函数零点问题【例1】 已知是定义在R上的且以2为周期的偶函数，当时，如果函数有两个零点，则实数的值为（）ABC0D【答案】D 【例2】已知函数，若函数有且只有两个零点，则k的取值范围为（）ABCD【答案】C【解析】由题意，可化为为双曲线在第一象限的部分，渐近线方程为当时，由，可得可得，即在处的切线方程为，此时函数有且只有个零点，因此若函数有且只有两个零点，则的取值范围为题型二、利用函数性质解决三角函数图象问题【例3】 将函数的图象沿轴向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的取值不可能是（）ABCD【答案】C【解析】的图象沿轴向右平移个单位后得到的函数解析式为,因为该函数为偶函数,所以即,由此可知选项C不符合题意,故选C.【例4】将函数ycosxsinx(xR)的图像向左平移m(m0)个单位长度后，所得到的图像关于y轴对称，则m的最小值是()A.B.C.D.【答案】C题型三、利用函数性质解决参数范围（或值）问题【例5】设函数f(x)=(a-2)x,x2(12)x-1,x<2，an=f(n)，若数列an是单调递减数列，则实数a的取值范围为（）A.(-,2)B.(-,74)C.(-,138D.138,2)【答案】B【解析】数列an是单调递减数列，则f(1)>f(2)>f(3)>，所以函数f(x)在xN+上是减函数，故有a-2<0121-1>a-2×2,解得a<74.所以实数a的取值范围是-,74.本题选择B选项.【例6】设0，若函数f(x)sincos在区间上单调递增，则的取值范围是()A.B.C.D1，)【答案】B【解析】f(x)sincossinx，若函数在区间上单调递增，则，即，故选B.点评：已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解题型四、利用函数性质解不等式【例7】若函数是奇函数，则使成立的的取值范围是_【答案】点睛：(1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的值或解析式. 【例8】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间0，)上单调递增若实数a满足f(log2a)f()2f(1)，则a的取值范围是()A1,2B.CD(0,2【答案】C【解析】由已知条件得f(x)f(x)，则f(log2a)f()2f(1)f(log2a)f(log2a)2f(1)f(log2a)f(1)，又f(log2a)f(|log2a|)且f(x)在0，)上单调递增，所以|log2a|11log2a1，解得.点评：在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域题型五、利用函数性质解决函数解析式问题【例9】f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)x3ln(1x)，则当x0时，f(x)()Ax3ln(1x)Bx3ln(1x)Cx3ln(1x)Dx3ln(1x)【答案】C点评：已知函数的奇偶性求解析式：将待求区间上的自变量，转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式【例10】设是定义在(,)上的奇函数,且时,则时=_.【答案】【解析】时,点评：已知函数的奇偶性求函数的解析式抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于f(x)的方程，从而可得f(x)的解析式题型六、利用函数性质解决函数值问题【例11】已知是定义在R上的奇函数，是偶函数，当(2，4)时，则=（）A1B 0C2D-2【答案】B【解析】由是定义在上的奇函数,由是偶函数关于对称的周期为，（奇函数）=,故选B.【例12】【江西省赣州厚德外国语学校2018届高三上学期第一次阶段测试】设是定义在上的周期为的周期函数，如图表示该函数在区间上的图像，则（）A.3B.2C.1D.0【答案】C点睛：(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.题型七、利用函数性质解决比较大小问题【例11】 已知函数f(x)的图像向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2x11时，f(x2)f(x1)·(x2x1)0恒成立，设，bf(2)，cf(3)，则a，b，c的大小关系为()AcabBcbaCacbDbac【答案】D【解析】根据已知可得函数f(x)的图像关于直线x1对称，且在(1，)上是减函数，所以bac. 【例12】定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，且在0,1上是增函数，则有()Af<f<fBf<f<fCf<f<fDf<f<f【答案】B点评：比较大小比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决题型八、函数单调性、奇偶性的判断【例13】 若定义在上的奇函数满足：，且，都有，则称该函数为满足约束条件的一个“函数”，有下列函数：；，其中为“函数”的是（）ABCD【答案】D【解析】因为不是奇函数，定义域不是，所以不合题意，又，且，都有等价于在上递增，而在减，所以错，而,在上递增，且为奇函数.【例14】 下列函数中，在上为增函数的是()A.B.C.D.【答案】B 方法、规律归纳:1、判断证明函数单调性的一般方法：导数、定义、复合、图像。（1）定义法：用定义法证明函数的单调性的一般步骤是设，且；作差；变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）判断的正负符号；根据定义下结论。（2）复合函数分析法：设，都是单调函数，则在上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。如下表：增增增增减减减增减减减增（3）导数证明法设在某个区间内有导数，若在区间内，总有，则在区间上为增函数（减函数）；反之，若在区间内为增函数（减函数），则。（4）图像法：一般通过已知条件作出函数图像的草图，从而得到函数的单调性。2、求函数的单调区间：函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等【注】1）函数的单调性是局部性质：函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调2）单调区间的表示：单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“”联结，也不能用“或”联结三限时训练:1已知是定义在上的偶函数，且，当时，则不等式的解集是()A.B.C.D.以上都不正确【答案】C【解析】令，则当时：，即函数在上单调递增，由可得：当时，；当时，；不等式在上的解集为，同理，不等式在上的解集为，综上可得：不等式的解集是.2 定义在上的偶函数f(x)，其导函数为f，(x)，若对任意的实数x，都有2f(x)+xf,(x)<2恒成立，则使x2f(x)-f(1)<x2-1成立的实数x的取值范围为（）A.xx±1B.（，1）（1，+）C.（1，1）D.（1，0）（0，1）【答案】B 3 已知函数f(x)是R上的奇函数，当x>0时为减函数，且f(2)=0，则xf(x-2)<0=（）A.x0<x<2或x>4B.xx<0或x>4C.x0<x<2或x>2D.x0<x<2或2<x<4【答案】A4已知fx=1+2x-x2，那么gx=ffx()A.在区间-2,1上单调递增B.在0,2上单调递增C.在-1,1上单调递增D.在1,2上单调递增【答案】D5定义在上的函数的图象关于点成中心对称且对任意的实数都有且，则()A.1B.0C.D.【答案】A【解析】，所以,f(x)是周期为3的周期函数。