初中数学竞赛：直线与圆（附练习题及答案）
初中数学竞赛：直线与圆 直线与圆的位置有相交、相切、相离三种情形，既可从直线与圆交点的个数来判定，也可以从圆心到直线的距离与圆的半径的大小比较来考察讨论直线与圆的位置关系的重点是直线与圆相切，直线与圆相切涉及切线的性质和判定、切线长定理、弦切角的概念和性质、切割线定理等丰富的知识，这些丰富的知识对应着以下基本图形、基本结论：注： 点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系的确定有共同的精确判定方法，即量化的方法(距离与半径的比较)，我们称“由数定形”，勾股定理的逆定理也具有这一特点【例题求解】【例1】 如图，AB是半圆O的直径，CB切O于B，CD切O于D，交BA的延长线于E，若EA=1，ED=2，则BC的长为 思路点拨 从C点看，可用切线长定理，从E点看，可用切割线定理，而连OD，则ODEC，又有相似三角形，先求出O的半径注：连结圆心与切点是一条常用的辅助线，利用切线的性质可构造出直角三角形，在圆的证明与计算中有广泛的应用 【例2】 如图，AB、AC与O相切于B、C，A=50°，点P是圆上异于B、C的一个动点，则BPC的度数是( ) A65° B115° C60°和115° D130°和50°思路点拨 略【例3】 如图，以等腰ABC的一腰AB为直径的O交BC于D，过D作DEAC于E，可得结论：DE是O的切线问：(1)若点O在AB上向点B移动，以O为圆心，OB为半径的圆的交BC于D，DEAC的条件不变，那么上述结论是否还成立?请说明理由； (2)如果AB=AC=5cm，sinA=，那么圆心O在AB的什么位置时，O与AC相切?思路点拨 (1)是结论探索题，(2)是条件探索题，从切线的判定方法和性质入手，分别画图，方能求解【例4】 如图，已知RtABC中，AC=5，BC=12，ACB=90°，P是AB边上的动点(与点A、B不重合)，Q是BC边上的动点(与点B、C不重合) (1)当PQAC，且Q为BC的中点时，求线段PC的长； (2)当PQ与AC不平行时，CPQ可能为直角三角形吗?若有可能，求出线段CQ的长的取值范围；若不可能，请说明理由 思路点拨 对于(2)，易发现只有点P能作为直角顶点，建立一个研究的模型以CQ为直径的圆与线段AB的交点就是符合要求的点P，从直线与圆相切特殊位置入手，以此确定CQ的取值范围注：判定一直线为圆的切线是平面几何中一种常见问题，判定的基本方法有： (1)从直线与圆交点个数入手； (2)利用角证明，即证明半径和直线垂直； (3)运用线段证明，即证明圆心到直线的距离等于半径一个圆的问题，从不同的条件出发，可有不同的添辅助线方式，进而可得不同的证法，对于分层次设问的问题，需整体考虑； 【例5】如图，在正方形ABCD中，AB=1，是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧，点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点（1）当DEF=45°时，求证点G为线段EF的中点；（2）设AE=x，FC=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）将DEF沿直线EF翻折后得D1EF，如图，当EF=时，讨论AD1D与ED1F是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由思路点拨 图中有多条B的切线，由切线长定理可得多对等长线段，这是解(1)、(2)问的基础，对于(3)，由(2)求出的值，确定E点位置，这是解题的关键注：本例将几何图形置于直角坐标系中，综合了圆的有关性质、相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质、等边三角形的判定与性质等丰富的知识，并结合了待定系数法、数形互助等思想方法，具有较强的选拔功能 专题训练1如图，AB为O的直径，P点在AB延长线上，PM切O于M点，若OA=， FM=，那么PMB的周长为 2PA、PB切O于A、B，APB=78°，点C是O上异于A、B的任意一点，则ACB= 3如图，EB、EC是O的两条切线，B、C是切点，A、D是O上两点，如果F=46°，DCF=32°，则A的度数是 4如图，以ABC的边AB为直径作O交BC于D，过点D作O的切线交AC于E，要使DEAC，则ABC的边必须满足的条件是 5、表示直线，给出下列四个论断：；切O于点A；切O于点B；AB是O的直径若以其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，可以构造出一些命题，在这些命题中，正确命题的个数为( ) 1 B2 C3 D46如图，圆心O在边长为的正方形ABCD的对角线BD上，O过B点且与AD、DC边均相切，则O的半径是( ) A B C D7直角梯形ABCD中，ADBC，B=90°，AD+BC<DC，若腰DC上有一点P， 使APBP，则这样的点( ) A不存在 B只有一个 C只有两个 D有无数个 8如图，圆内接ABC的外角ACH的平分线与圆交于D点，DPAC于P，DHBH于H，下列结论：CH=CP；A D=DB；APBH；DH为圆的切线，其中一定成立的是( ) A B C D9如图，O是ABC的外接圆，已知ACB=45°，ABC=120°，O的半径为1，(1)求弦AC、AB的长；(2)若P为CB的延长线上一点，试确定P点的位置，使PA与O相切，并证明你的结论10如图，AB是O的直径，点P在BA的延长线上，弦CDAB于E，且PC2=PE·PO (1)求证：PC是O的切线； (2)若OE：EA=1：2，且PA6，求O的半径； (3)求sinPCA的值 11(1)如图a，已知直线AB过圆心O，交O于A、B，直线AF交O于F(不与B重合)，直线交O于C、D，交AB于E且与AF垂直，垂足为G，连AC、 AD，求证：BAD=CAG；AC·AD=AE·AF(2)在问题(1)中，当直线向上平行移动与O相切时，其他条件不变请你在图b中画出变化后的图形，并对照图a标记字母；问题(1)中的两个结论是否成立?如果成立，请给出证明；如不成立，请说明理由12如图，在RtABC中，A=90°，O分别与AB、AC相切于点E、F，圆心O在BC上，若AB=a，AC=b，则O的半径等于 13如图，AB是半圆O的直径，点M是半径OA的中点，点P在线段AM上运动(不与点M重合)，点Q在半圆O上运动，且总保持PQ=PO，过点Q作O的切线交BA的延长线于点C (1)当QPA=60°时，请你对QCP的形状做出猜想，并给予证明 (2)当QPAB时，QCP的形状是 三角形 (3)由(1)、(2)得出的结论，请进一步猜想当点P在线段AM上运动到任何位置时，QCP一定是 三角形 14如图，已知AB为O的直径，CB切O于B ，CD切O于D，交BA的延长线于E，若AB=3，ED=2，则BC的长为( ) A2 B3 C35 D4 15如图，PA、PB是O的两条切线，A、B切点，直线OP交O于C、D，交AB于E，AF为O的直径，下列结论：(1)APB=AOP；(2)BC=DF；(3)PC·PD=PE·PO，其中正确结论的个数有( )A3个 B2个 C1个 D0个 16如图，已知ABC，过点A作外接圆的切线交BC的延长线于点P，点D在AC上，且，延长PD交AB于点E，则的值为( ) A B C D 17如图，已知AB为半圆O的直径，AP为过点A的半圆的切线 在AB上任取一点C(点C与A、B不重合)，过点C作半圆的切线CD交AP于点D；过点C作CEAB，垂足为E连结BD，交CE于点F(1)当点C为AB的中点时(如图1)，求证：CFEF；(2)当点C不是AB的中点时(如图2)，试判断CF与EF的相等关系是否保持不变，并证明你的结论 18如图，ABC中，C=90°，AC=6，BC=3，点D在AC边上，以D为圆心的D与AB切于点E(1)求证：ADEABC；(2)设D与BC交于点F，当CF=2时，求CD的长；(3)设CD=，试给出一个值，使D与BC没有公共点，并说明你给出的值符合的要求 19如图，PA、PB与O切于A、B两点，PC是任意一条割线，且交O于点E、C，交AB于点D求证：20如图，O与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，圆心O的坐标是(1，一1)，半径是，(1)求A、B、C、D四点的坐标； (2)求经过点D的切线的解析式；(3)问过点A的切线与过点D的切线是否垂直?若垂直，请写出证明过程；若不垂直，试说明理由21当你进入博物馆的展览厅时，你知道站在何处观赏最理想? 如图，设墙壁上的展品最高处点P距离地面a米，最低处点Q距离地面b米，观赏者的眼睛点E距离地面m米，当过 P、Q、E三点的圆与过点E的水平线相切于点E时，视角PEQ最大，站在此处观赏最理想 (1)设点E到墙壁的距离为x米，求a、b、m，x的关系式； (2)当a=2.5，b=2，m=1.6时，求： (a)点E和墙壁距离x米；(b)最大视角PER的度数(精确到1度) 参考答案 10
