初中数学竞赛：几何的定值与最值（附练习题及答案）
初中数学竞赛：几何的定值与最值 几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明 几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有： 1特殊位置与极端位置法； 2几何定理(公理)法；3数形结合法等注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中，由冷点变为热点这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法【例题就解】【例1】 如图，已知AB=10，P是线段AB上任意一点，在AB的同侧分别以AP和PB为边作等边APC和等边BPD，则CD长度的最小值为 思路点拨 如图，作CCAB于C，DDAB于D，DQCC，CD2=DQ2+CQ2，DQ=AB一常数，当CQ越小，CD越小，本例也可设AP=，则PB=，从代数角度探求CD的最小值 注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特殊位置与极端位置是指：(1)中点处、垂直位置关系等；(2)端点处、临界位置等 【例2】 如图，圆的半径等于正三角形ABC的高，此圆在沿底边AB滚动，切点为T，圆交AC、BC于M、N，则对于所有可能的圆的位置而言， MTN为的度数（ ） A从30°到60°变动 B从60°到90°变动C保持30°不变 D保持60°不变 思路点拨 先考虑当圆心在正三角形的顶点C时，其弧的度数，再证明一般情形，从而作出判断注：几何定值与最值问题，一般都是置于动态背景下，动与静是相对的，我们可以研究问题中的变量，考虑当变化的元素运动到特定的位置，使图形变化为特殊图形时，研究的量取得定值与最值【例3】 如图，已知平行四边形ABCD，AB=，BC=(>)，P为AB边上的一动点， 直线DP交CB的延长线于Q，求AP+BQ的最小值思路点拨 设AP=，把AP、BQ分别用的代数式表示，运用不等式 (当且仅当时取等号)来求最小值 【例4】 如图，已知等边ABC内接于圆，在劣弧AB上取异于A、B的点M，设直线AC与BM相交于K，直线CB与AM相交于点N，证明：线段AK和BN的乘积与M点的选择无关思路点拨 即要证AK·BN是一个定值，在图形中ABC的边长是一个定值，说明AK·BN与AB有关，从图知AB为ABM与ANB的公共边，作一个大胆的猜想，AK·BN=AB2，从而我们的证明目标更加明确注：只要探求出定值，那么解题目标明确，定值问题就转化为一般的几何证明问题【例5】 已知XYZ是直角边长为1的等腰直角三角形(Z=90°)，它的三个顶点分别在等腰RtABC(C=90°)的三边上，求ABC直角边长的最大可能值思路点拨 顶点Z在斜边上或直角边CA(或CB)上，当顶点Z在斜边AB上时，取xy的中点，通过几何不等关系求出直角边的最大值，当顶点Z在(AC或CB)上时，设CX=，CZ=，建立，的关系式，运用代数的方法求直角边的最大值 注：数形结合法解几何最值问题，即适当地选取变量，建立几何元素间的函数、方程、不等式等关系，再运用相应的代数知识方法求解常见的解题途径是：(1)利用一元二次方程必定有解的代数模型，运用判别式求几何最值；(2)构造二次函数求几何最值专题训练1如图，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上任意一点（可与B点或C点重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B、C、D，则BB+CC+DD的最大值为 ，最小值为 2如图，AOB=45°，角内有一点P，PO=10，在角的两边上有两点Q，R(均不同于点O)，则PQR的周长的最小值为 3如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC=8，B到MN的距离BD=5，CD=4，P在直线MN上运动，则的最大值等于 4如图，A点是半圆上一个三等分点，B点是弧AN的中点，P点是直径MN上一动点，O的半径为1，则AP+BP的最小值为( ) A1 B C D5如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，动点P从A点出发，沿看圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短距离是( ) A B C D6如图、已知矩形ABCD，R，P户分别是DC、BC上的点，E，F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是( ) A线段EF的长逐渐增大 B线段EF的长逐渐减小C线段EF的长不改变 D线段EF的长不能确定7如图，点C是线段AB上的任意一点(C点不与A、B点重合)，分别以AC、BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，AE与CD相交于点M，BD与CE相交于点N(1)求证：MNAB；(2)若AB的长为l0cm，当点C在线段AB上移动时，是否存在这样的一点C，使线段MN的长度最长?若存在，请确定C点的位置并求出MN的长；若不存在，请说明理由(2002年云南省中考题)8如图，定长的弦ST在一个以AB为直径的半圆上滑动，M是ST的中点，P是S对AB作垂线的垂足，求证：不管ST滑到什么位置，SPM是一定角9已知ABC是O的内接三角形，BT为O的切线，B为切点，P为直线AB上一点，过点P作BC的平行线交直线BT于点E，交直线AC于点F(1)当点P在线段AB上时(如图)，求证：PA·PB=PE·PF；(2)当点P为线段BA延长线上一点时，第(1)题的结论还成立吗?如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由 10如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB上的一点P，使矩形PNDM有最大面积，则矩形PNDM的面积最大值是( ) A8 B12 C D1411如图，AB是半圆的直径，线段CA上AB于点A，线段DB上AB于点B，AB=2；AC=1，BD=3，P是半圆上的一个动点，则封闭图形ACPDB的最大面积是( ) A B C D12如图，在ABC中，BC=5，AC=12，AB=13，在边AB、AC上分别取点D、E，使线段DE将ABC分成面积相等的两部分，试求这样线段的最小长度13如图，ABCD是一个边长为1的正方形，U、V分别是AB、CD上的点，AV与DU相交于点P，BV与CU相交于点Q求四边形PUQV面积的最大值14利用两个相同的喷水器，修建一个矩形花坛，使花坛全部都能喷到水已知每个喷水器的喷水区域是半径为l0米的圆，问如何设计(求出两喷水器之间的距离和矩形的长、宽)，才能使矩形花坛的面积最大?15某住宅小区，为美化环境，提高居民生活质量，要建一个八边形居民广场(平面图如图所示)其中，正方形MNPQ与四个相同矩形(图中阴影部分)的面积的和为800平方米(1)设矩形的边AB=(米)，AM=(米)，用含的代数式表示为 (2)现计划在正方形区域上建雕塑和花坛，平均每平方米造价为2100元；在四个相同的矩形区域上铺设花岗岩地坪，平均每平方米造价为105元；在四个三角形区域上铺设草坪，平均每平方米造价为40元 设该工程的总造价为S(元)，求S关于工的函数关系式 若该工程的银行贷款为235000元，仅靠银行贷款能否完成该工程的建设任务?若能，请列出设计方案；若不能，请说明理由 若该工程在银行贷款的基础上，又增加资金73000元，问能否完成该工程的建设任务?若能，请列出所有可能的设计方案；若不能，请说明理由16某房地产公司拥有一块“缺角矩形”荒地ABCDE，边长和方向如图，欲在这块地上建一座地基为长方形东西走向的公寓，请划出这块地基，并求地基的最大面积(精确到1m2) 参考答案 9
