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初中数学竞赛:求根公式(附练习题及答案)

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初中数学竞赛:求根公式(附练习题及答案)

初中数学竞赛:求根公式 形如()的方程叫一元二次方程,配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。 求根公式内涵丰富:它包含了初中阶段已学过的全部代数运算;它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题;它展示了数学的简洁美。降次转化是解方程的基本思想,有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题,直接求解可能给解题带来许多不便,往往不是去解这个二次方程,而是对方程进行适当的变形来代换,从而使问题易于解决。解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。【例题求解】【例1】满足的整数n有 个。思路点拨:从指数运算律、±1的特征人手,将问题转化为解方程。【例2】设、是二次方程的两个根,那么的值等于( )A、一4 B、8 C、6 D、0 思路点拨:求出、的值再代入计算,则计算繁难,解题的关键是利用根的定义及变形,使多项式降次,如,。【例3】 解关于的方程。思路点拨:因不知晓原方程的类型,故需分及两种情况讨论。【例4】 设方程,求满足该方程的所有根之和。思路点拨:通过讨论,脱去绝对值符号,把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解。【例5】 已知实数、互不相等,且, 试求的值。 思路点拨:运用连等式,通过迭代把、用的代数式表示,由解方程求得的值。注:一元二次方程常见的变形形式有: (1)把方程()直接作零值多项式代换; (2)把方程()变形为,代换后降次;(3)把方程()变形为或,代换后使之转化关系或整体地消去。解合字母系数方程时,在未指明方程类型时,应分及两种情况讨论;解绝对值方程需脱去绝对值符号,并用到绝对值一些性质,如。求根公式专题训练1、已知、是实数,且,那么关于的方程的根为 。2、已知,那么代数式的值是 。3、若,则的值为 。4、若两个方程和只有一个公共根,则( )A、 B、 C、 D、 5、当分式有意义时,的取值范围是( ) A、 B、 C、 D、且 6、方程的实根的个数是( ) A、0 B、1 C、2 D、37、解下列关于的方程:(1); (2); (3)。8、已知,求代数式的值。9、是否存在某个实数m,使得方程和有且只有一个公共的实根?如果存在,求出这个实数m及两方程的公共实根;如果不存在,请说明理由。注: 解公共根问题的基本策略是:当方程的根有简单形式表示时,利用公共根相等求解,当方程的根不便于求出时,可设出公共根,设而不求,通过消去二次项寻找解题突破口。10、若,则 。11、已知、是有理数,方程有一个根是,则的值为 。12、已知是方程的一个正根。则代数式的值为 。 13、对于方程,如果方程实根的个数恰为3个,则m值等于( )A、1 B、2 C、 D、25 14、自然数满足,这样的的个数是( ) A、2 B、1 C、3 D、415、已知、都是负实数,且,那么的值是( )A、 B、 C、 D、16、已知,求的值。17、已知m、n是一元二次方程的两个根,求的值。18、在一个面积为l的正方形中构造一个如下的小正方形:将正方形的各边等分,然后将每个顶点和它相对顶点最近的分点连结起来,如图所示,若小正方形面积为,求的值。19、已知方程的两根、也是方程的根,求、的值。20、如图,锐角ABC中,PQRS是ABC的内接矩形,且SABC=S矩形PQRS,其中为不小于3的自然数求证:需为无理数。 6

注意事项

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