初中数学竞赛试卷及答案（十二套）

初中数学竞赛试题（一）题 号一二三总 分156101112 1314得 分评卷人复查人答题时注意：1用圆珠笔或钢笔作答；2解答书写时不要超过装订线；3草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1设，则代数式的值为( ).（A）24 （B）25 （C） （D）2对于任意实数，定义有序实数对与之间的运算“”为：（）（）（）如果对于任意实数 都有（）（）（），那么（）为( ).（A）（0，1） （B）（1，0） （C）（1，0） （D）（0，-1）3若，且满足，则的值为( ).（A）1 （B）2 （C） （D）4点分别在的边上，相交于点，设，则与的大小关系为( ).（A） （B） （C） （D）不能确定5设，则的整数部分等于( ).（A）4 （B）5 （C）6 （D）7二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6若关于的方程有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则的取值范围是 .7一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数的概率是 .8如图，点为直线上的两点，过两点分别作y轴的平行线交双曲线（）于两点. 若，则 的值为 .（第10题）（第8题）9若的最大值为a，最小值为b，则的值为 . 10如图，在RtABC中，斜边AB的长为35，正方形CDEF内接于ABC，且其边长为12，则ABC的周长为 .三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值. 12如图，点为的垂心，以为直径的和的外接圆相交于点，延长交于点，求证：点为的中点.（第12题）13如图，点为轴正半轴上一点，两点关于轴对称，过点任作直线交抛物线于，两点.（1）求证：=；（2）若点的坐标为（0，1），且=60º，试求所有满足条件的直线的函数解析式. （第13题）14如图，ABC中，点P在ABC内，且，求ABC的面积（第14题）参考答案 一、选择题1A解：因为， ， ， 所以2B解：依定义的运算法则，有即对任何实数都成立. 由于实数的任意性，得（）=（1，0）3C解：由题设可知，于是，所以 ，故，从而于是4C（第4题）解：如图，连接，设，则，从而有因为，所以5A解：当时，因为，所以 . 于是有，故的整数部分等于4二、填空题63m4解：易知是方程的一个根，设方程的另外两个根为，则，显然，所以 0，即 ，0，所以， 0，解之得 3m4.7解： 在36对可能出现的结果中，有4对：（1，4），（2，3），（2，3），（4，1）的和为5，所以朝上的面两数字之和为5的概率是. 86 解：如图，设点的坐标为，点的坐标为,则点的坐标为，点的坐标为 因为点在双曲线上，所以（第8题）由于， 又因为，于是所以 即 9解：由0，且0，得由于，所以当时，取到最大值1，故当或1时，取到最小值，故所以，1084解：如图，设BCa，ACb，则1225 （第10题）又RtAFERtACB，所以，即，故 由得 ，解得ab49（另一个解25舍去），所以三、解答题11解：设方程的两个根为，其中为整数，且，则方程的两根为，由题意得，两式相加得 ， 即 ， 所以 或 解得 或又因为 所以；或者，故，或29.12证明：如图，延长交于点，连接.因为为的直径，（第12题）所以90°，故为的直径.于是. 又因为点为的垂心，所以 所以，四边形为平行四边形. 所以点为的中点.13解：（1）如图，分别过点作轴的垂线，垂足分别为.设点的坐标为（0，），则点的坐标为（0，-）.设直线的函数解析式为,并设的坐标分别为 ,.由（第13题）得 ，于是 ，即 . 于是 又因为，所以. 因为，所以， 故=.（2）解法一 设，不妨设>0，由（1）可知=，=，=， 所以 =，=.因为，所以.于是，即，所以由（1）中，即，所以于是可求得 将代入，得到点的坐标（，）. 再将点的坐标代入，求得 所以直线的函数解析式为.根据对称性知，所求直线的函数解析式为，或.解法二 设直线的函数解析式为,其中.由（1）可知，=，所以.故 .将代入上式，平方并整理得，即.所以 或 又由 (1)得，.若代入上式得 从而 .同理，若 可得 从而 .所以，直线的函数解析式为，或.14解：如图，作ABQ，使得则ABQACP . 由于，所以相似比为2.于是（第14题）. 由知，于是所以 ，从而于是 . 故 初中数学竞赛试题（二）一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1若，则的值为（ ）（A） （B） （C） （D）解： 由题设得2若实数a，b满足，则a的取值范围是 （ ）（A）a （B）a4 （C）a或 a4 （D）a4解C因为b是实数，所以关于b的一元二次方程的判别式 0,解得a或 a43如图，在四边形ABCD中，B135°，C120°，AB=，BC=，CD，则AD边的长为（ ）（A） （B）（第3题）（C） （D）解：D如图，过点A，D分别作AE，DF垂直于直线BC，垂足分别为E，F由已知可得（第3题）BE=AE=，CF，DF2，于是 EF4过点A作AGDF，垂足为G在RtADG中，根据勾股定理得AD4在一列数中，已知，且当k2时，（取整符号表示不超过实数的最大整数，例如，），则等于（ ）(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4解：B由和可得，因为2010=4×502+2，所以=25如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，1），C（2，1），D（1，1）y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，重复操作依次得到点P1，P2， 则点P2010的坐标是（ ） （第5题）（A）（2010，2） （B）（2010，） （C）（2012，） （D）（0，2）解：B由已知可以得到，点，的坐标分别为（2，0），（2，）记，其中根据对称关系，依次可以求得：，令，同样可以求得，点的坐标为（），即（），由于2010=4502+2，所以点的坐标为（2010，）二、填空题6已知a1，则2a37a22a12 的值等于 解：0 由已知得 (a1)25，所以a22a4，于是2a37a22a122a34a23a22a123a26a1207一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t 解：15设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、客车的速度分别为（千米/分），并设货车经x分钟追上客车，由题意得， ， 由，得，所以，x=30 故 （分） （第8题8如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是 （第8题）解：如图，延长BC交x轴于点F；连接OB，AFCE，DF，且相交于点N由已知得点M（2，3）是OB，AF的中点，即点M为矩形ABFO的中心，所以直线把矩形ABFO分成面积相等的两部分又因为点N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以，过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分于是，直线即为所求的直线设直线的函数表达式为，则解得 ,故所求直线的函数表达式为（第9题）9如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D若CDCF，则 解： 见题图，设因为RtAFBRtABC，所以 又因为 FCDCAB，所以 即 ，解得，或（舍去）又RtRt，所以， 即=10对于i=2，3，k，正整数n除以i所得的余数为i1