2016届高考数学总复习 课时提升练74 证明不等式的基本方法 理 新人教版
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2016届高考数学总复习 课时提升练74 证明不等式的基本方法 理 新人教版
课时提升练(七十四)证明不等式的基本方法一、选择题1设ta2b,sab21,则s与t的大小关系是()AstBs>tCstDs<t【解析】stb22b1(b1)20,st.【答案】A2设a,b(0,),且abab1,则有()Aab2(1) Bab1Cab1 Dab2(1)【解析】abab1,1abab2令abt(t0),则1t(t0),解得t2(1),则ab2(1)【答案】A3(2014·北京东城模拟)设a,b,c为正数,且a2b3c13,则的最大值为()A.B.C.D.【解析】由柯西不等式得(a2b3c)()2()2.当且仅当时等号成立,即a9,b,c时取得最大值.【答案】C4已知a、b、c是正实数,且abc1,则的最小值为()A5B7 C9D11【解析】把abc1代入得332229.【答案】C5设0<x<1,则a,b1x,c中最大的一个是()Aa BbCc D无法判断【解析】0<x<1,1x>2>,只需比较1x与的大小,1x<0,1x<.因此c最大【答案】C6(2012·湖北高考)设a,b,c,x,y,z是正数,且a2b2c210,x2y2z240,axbycz20,则()A.B. C.D.【解析】由题意可得x2y2z22ax2by2cz,与a2b2c210相加可得(xa)2(yb)2(zc)210,所以不妨令.则xyz2(abc),即.【答案】C二、填空题7(2014·南昌模拟)若实数a,b,c满足a2b2c24,则3a4b5c的最大值为_【解析】由柯西不等式得(3a4b5c)2(a2b2c2)·(91625)200,所以103a4b5c10,所以3a4b5c的最大值为10.【答案】108以下三个命题:若|ab|1,则|a|b|1;若a,bR,则|ab|2|a|ab|;若|x|2,|y|3,则,其中正确命题的序号是_【解析】|a|b|ab|1,所以|a|b|1;|ab|ab|(ab)(ab)|2a|,所以|ab|2|a|ab|;|x|2,|y|3,所以,因此.均正确【答案】9若x0,则函数f(x)3x的最小值为_【解析】x0,f(x)3xxx33 ,等号成立的条件为xx,x时,f(x)的最小值为3.【答案】3三、解答题10(2014·贵州六校联盟)设a、b、c均为正实数,求证:.【证明】a,b,c均为正实数,当ab时等号成立当bc时等号成立当ac时等号成立三个不等式相加即得当且仅当abc时等号成立即.11(2014·辽宁高考)设函数f(x)2|x1|x1,g(x)16x28x1.记f(x)1的解集为M,g(x)4的解集为N.(1)求M;(2)当xMN时,证明:x2f(x)xf(x)2.【解】(1)f(x)当x1时,由f(x)3x31得x,故1x;当x1时,由f(x)1x1得x0,故0x1.所以f(x)1的解集为Mx|0x(2)证明:由g(x)16x28x14得1624,解得x.因此N,故MN.当xMN时,f(x)1x,于是x2f(x)x·f(x)2xf(x)xf(x)x·f(x)x(1x)2.12(2014·东北三省联考)已知a,b,cR,a2b2c21.(1)求证:|abc|;(2)若不等式|x1|x1|(abc)2对一切实数a,b,c恒成立,求实数x的取值范围【解】(1)由柯西不等式得,(abc)2(121212)·(a2b2c2)3,abc,所以abc的取值范围是,即|abc|.(2)同理,(abc)2(a2b2c2)3,若不等式|x1|x1|(abc)2对一切实数a,b,c恒成立,则|x1|x1|3,解集为.