2019年高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理学案理北师大版

第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理考纲传真(教师用书独具)1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题(对应学生用书第169页)基础知识填充1分类加法计数原理完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，在第n类办法中有mn种方法那么，完成这件事共有Nm1m2mn种方法(也称加法原理)2分步乘法计数原理完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，做第n步有mn种方法那么，完成这件事共有Nm1×m2××mn种方法3分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事的不同方法的种类它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任何一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“×”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同()(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事()(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的()(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事()答案(1)×(2)(3)(4)×2(教材改编)从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有()A30 B20C10D6D从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两数和为偶数可分为两类：取出的两数都是偶数，共有3种方法；取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类加法计数原理得共有N336种3书架的第1层放有4本不同的语文书，第2层放有5本不同的数学书，第3层放有6本不同的体育书从第1,2,3层分别各取1本书，则不同的取法种数为()A3B15C21D120D由分步乘法计数原理知，从第1,2,3层各取1本书，不同的取法种数为4×5×6120.故选D4从集合0,1,2,3,4,5,6中任取两个互不相等的数a，b组成复数abi，其中虚数有()A30个B42个 C36个D35个Cabi为虚数，b0，即b有6种取法，a有6种取法，由分步乘法计数原理知可以组成6×636个虚数5如图10­1­1，从A城到B城有3条路；从B城到D城有4条路；从A城到C城有4条路；从C城到D城有5条路，则某旅客从A城到D城共有_条不同的路线图10­1­132不同路线共有3×44×532(条)(对应学生用书第169页)分类加法计数原理(1)某位同学逛书店，发现有三本喜欢的书，决定至少买其中一本，则购买的方案有_种(2)满足a，b1,0,1,2，且关于x的方程ax22xb0有实数解的有序数对(a，b)的个数为_(1)7(2)13(1)至少买其中一本的实质是买一本或买两本或买三本，故分三类完成第一类：买一本有3种；第二类：买两本有3种；第三类：买三本有1种共有3317(种)买法(2)当a0时，有x，b1,0,1,2，有4种可能；当a0时，则44ab0，ab1，()当a1时，b1,0,1,2，有4种可能；()当a1时，b1,0,1，有3种可能；()当a2时，b1,0，有2种可能所以有序数对(a，b)共有443213个规律方法应用分类加法计数原理应遵循的两原则(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准.(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，且只能属于某一类(即标准明确，不重不漏).跟踪训练椭圆1的焦点在x轴上，且m1,2,3,4,5，n1,2,3,4,5,6,7，则这样的椭圆的个数为_. 【导学号：79140337】10因为焦点在x轴上，所以m>n.以m的值为标准分类，可分为四类：第一类，m5时，使m>n，n有4种选择；第二类，m4时，使m>n，n有3种选择；第三类，m3时，使m>n，n有2种选择；第四类，m2时，使m>n，n有1种选择由分类加法原理知，符合条件的椭圆共有432110个分步乘法计数原理(1)(2016·全国卷)如图10­1­2，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()图10­1­2A24B18C12D9(2)从1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)ax2bxc的系数，则可组成_个不同的二次函数，其中偶函数有_个(用数字作答)(1)B(2)186(1)分两步，第一步，从EF，有6条可以选择的最短路径；第二步，从FG，有3条可以选择的最短路径由分步乘法计数原理可知有6×318条可以选择的最短路程(2)一个二次函数对应着a，b，c(a0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知共有3×3×218(个)二次函数若二次函数为偶函数，则b0，同上可知共有3×26(个)偶函数规律方法利用分步乘法计数原理应注意以下三点(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的.(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事.(3)对完成每一步的不同方法数要根据条件准确确定.跟踪训练(1) (2018·北京西城区二模)大厦一层有A，B，C，D四部电梯，3人在一层乘坐电梯上楼，其中2人恰好乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有_种(用数字作答)(2)设集合A1,0,1，B0,1,2,3，定义A*B(x，y)|xAB，yAB，则A*B中元素的个数为_(1)36(2)10(1)从3人中选择两人同乘一部电梯有C3种选择，这两人乘坐的电梯有4种选择，最后1个乘坐的电梯有3种选择，所以不同的乘坐方式有3×4×336种(2)易知AB0,1，AB1,0,1,2,3，所以x有2种取法，y有5种取法，由分步乘法计数原理，A*B的元素有2×510个两个计数原理的综合应用(1)(2018·郑州第二次质量预测)将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数个数为()A72B120C192D240(2)如图10­1­3所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为()图10­1­3A24B48C72D96(1)D(2)C(1)个位数字是2或6时，不同的偶数个数为C·120；个位数字是4，不同的偶数个数为A120，则不同的偶数共有120120240个，故选D(2)分两种情况：A，C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B，D有1种，有4×3×224(种)涂法A，C同色，先涂A有4种，E有3种，C有1种，B，D各有2种，有4×3×2×248(种)涂法故共有244872种涂色方法规律方法与两个计数原理有关问题的解题策略(1)在综合应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步，但在分步时可能又会用到分类加法计数原理.(2)对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地画出示意图或列出表格，化抽象为直观.跟踪训练(1)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是()A48B18C24D36(2)(2017·杭州调研)已知集合M1,2,3,4，集合A，B为集合M的非空子集，若对任意xA，yB，x<y恒成立，则称(A，B)为集合M的一个“子集对”，则集合M的“子集对”共有_个. 【导学号：79140338】(1)D(2)17(1)分类讨论：第一类，对于每一条棱，都可以与两个面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×1224(个)；第二类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个所以正方体中“正交线面对”共有241236(个)(2)当A1时，B有231种情况；当A2时，B有221种情况；当A3时，B有1种情况；当A1,2时，B有221种情况；当A1,3，2,3，1,2,3时，B均有1种情况，所以满足题意的“子集对”共有7313317(个)