2019年高考数学一轮总复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.3 平面向量的数量积与平面向量应用举例课时跟踪检测 理

4.3 平面向量的数量积与平面向量应用举例课 时 跟 踪 检 测 基 础 达 标1已知|a|6，|b|3，a·b12，则向量a在向量b方向上的投影是()A4 B4C2 D2解析：a·b|a|b|cosa，b18cosa，b12，cosa，b.a在b方向上的投影是|a|cosa，b4.答案：A2(2017届河南八市重点高中质检)已知平面向量a，b的夹角为，且a·(ab)8，|a|2，则|b|等于()A. B2C3 D4解析：因为a·(ab)8，所以a·aa·b8，即|a|2|a|b|cosa，b8，所以42|b|×8，解得|b|4.答案：D3已知平面向量a，b，|a|1，|b|，且|2ab|，则向量a与向量ab的夹角为()A. BC. D解析：由题意得|2ab|244a·b37，所以a·b0，所以a·(ab)1，且|ab|2，故cosa，ab，所以a，ab，故选B.答案：B4(2017届辽宁抚顺一中月考)在ABC中，C90°，且CACB3，点M满足2，则·()A2 B3C3 D6解析：2，()，·()··2·3.故选B.答案：B5已知a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m(2cosC1，2)，n(cosC，cosC1)，若mn，且ab10，则ABC周长的最小值为()A105 B105C102 D102解析：mn，m·n0，即2cos2CcosC2cosC20.整理得2cos2C3cosC20，解得cosC或cosC 2(舍去)又c2a2b22abcosC(ab)22ab(1cosC)1022ab10021002575，c5，则ABC的周长为abc105.故选B.答案：B6已知|a|1，|b|，ab(，1)，则ab与ab的夹角为()A. BC. D解析：由ab(，1)得|ab|2(ab)24，又|a|1，|b|，所以|a|22a·b|b|212a·b34，解得2a·b0，所以|ab|2，设ab与ab的夹角为，则由夹角公式可得cos，且0，所以，即ab与ab的夹角为.答案：C7(2017届山东师大附中模拟)如图，在圆O中，若弦AB3，弦AC5，则·的值等于()A8 B1C1 D8解析：取的中点D，连接OD，AD，则·0且，即.而()，所以····()·()(22)(5232)8，故选D.答案：D8已知正三角形OAB中，点O原点，点B的坐标是(3，4)，点A在第一象限，向量m(1,0)，记向量m与向量的夹角为，则sin的值为()A BC. D解析：由题可得，夹角为60°，设与m的夹角为(为锐角)，则cos，则sin，sinsin(60°)sin60°coscos60°sin××.答案：B9已知平面上四个互异的点A、B、C、D满足()·(2)0，则ABC的形状为_解析：由已知得·()0即·()0设D为BC中点，则·20，CBAD，ABC为等腰三角形答案：等腰三角形10(2018届衡水调研)若非零向量a，b满足|a|b|，(2ab)·b0，则a与b的夹角为_解析：(2ab)·b0，2|a|b|cosb20.由|a|b|，可得cos.故a与b的夹角为120°.答案：120°11已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为_；·的最大值为_解析：以D为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示则D(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)设E(1，a)(0a1)，所以·(1，a)·(1,0)1，·(1，a)·(0,1)a1.故·的最大值为1.答案：1112已知|a|4，|b|3，(2a3b)·(2ab)61.(1)求a与b的夹角；(2)求|ab|和|ab|；(3)若a，b，作ABC，求ABC的面积解：(1)由(2a3b)·(2ab)61，得4|a|24a·b3|b|261.|a|4，|b|3，代入上式求得a·b6.cos.又0°，180°，120°.(2)|ab|2(ab)2|a|22a·b|b|2422×(6)3213，|ab|.同理，|ab|.(3)由(1)知BAC120°，|a|4，|b|3，SABC|·|·sinBAC×3×4×sin120°3.能 力 提 升1已知a，b均为单位向量，且a·b0，若|c4a|c3b|5，则|ca|的取值范围是()A3， B3,5C3,4 D，5解析：a，b均为单位向量，且a·b0，设a(1,0)，b(0,1)，c(x，y)，代入|c4a|c3b|5，得5.即(x，y)到A(4,0)和B(0,3)的距离和为5，c的终点轨迹是点(4,0)和(0,3)之间的线段，|ca|，表示M(1,0)到线段AB上点的距离，最小值是点(1,0)到直线3x4y120的距离|ca|min3.最大值为|MA|5.|ca|的取值范围是3,5答案：B2(2017年全国卷)已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·()的最小值是()A2 BC D1解析：建立如图所示的坐标系，A(0，)，B(1,0)，C(1,0)，设P(x，y)，则(x，y)，(1x，y)，(1x，y)，·()2x22y22y2，令x0，y，则·()min，故选B.答案：B3若平面向量a，b满足|2ab|3，则a·b的最小值是_解析：由|2ab|3可知，4a2b24a·b9，所以4a2b294a·b.而4a2b2|2a|2|b|22|2a|·|b|4a·b，所以a· b，当且仅当2ab时取等号答案：4在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(ac)·c·.(1)求角B的大小；(2)若|，求ABC面积的最大值解：(1)由题意得(ac)cosBbcosC.根据正弦定理得(sinAsinC)cosBsinBcosC，所以sinAcosBsin(CB)，即sinAcosBsinA，因为A(0，)，所以sinA>0，所以cosB，又B(0，)，所以B.(2)因为|，所以|，即b，根据余弦定理及基本不等式得6a2c2ac2acac(2)ac(当且仅当ac时取等号)，即ac3(2)，故ABC的面积SacsinB，即ABC的面积的最大值为.