2017秋九年级数学上册 小专题（三）一元二次方程根的判别式及根与系数的关系的综合运用测试题 （新版）湘教版

小专题(三)一元二次方程根的判别式及根与系数的关系的综合运用教材P57复习题T15的变式与应用教材母题：设x1，x2是关于x的方程x24xk10的两个实数根请问：是否存在实数k，使得x1x2x1x2成立？试说明理由【思路点拨】先由一元二次方程有两个实数根，判断出b24ac0，求出k的取值范围，再由根与系数的关系求出x1x2与x1x2的值，假设存在实数k满足条件，可得到关于k的一元一次不等式，进而求得不等式的解集，若不等式x1x2x1x2的解集在b24ac0得出的k的取值范围内，则存在k值，否则，不存在【解答】不存在理由如下：由题意，得(4)24×1×(k1)0，解得k3.由根与系数关系，得x1x24，x1x2k1.假设存在实数k，使得x1x2x1x2，则k14，解得k3.这与k3矛盾，假设不成立不存在实数k，使得x1x2x1x2成立【方法归纳】(1)解一元二次方程的存在性问题的方法：先假设存在，再根据假设和已知条件推理得出结论，若结论与已知题意相符，则存在，反之，若与题意矛盾，则不存在；(2)一元二次方程的根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有实数根，在利用一元二次方程根与系数的关系求待定字母的值时，必须满足0.变式训练：1(湘潭中考)已知关于x的一元二次方程x23xm0有两个不相等的实数根x1、x2.(1)求m的值；(2)当x11时，求另一个根x2的值解：(1)一元二次方程x23xm0有两个不相等的实数根，b24ac(3)24×1×m94m>0.m<.(2)x1x23，x11，x22.2已知关于x的方程kx2(2k1)x20.(1)求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；(2)是否存在实数k使方程两根的倒数和为2？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由解：(1)证明：当k0时，方程变形为x20，解得x2；当k0时，(2k1)24·k·2(2k1)2，(2k1)20，0.当k0时，方程有实数根无论k取任何实数时，方程总有实数根(2)存在理由如下：设方程两根分别为x1、x2，则x1x2，x1x2.2，即2，2，即2.解得k.故存在实数k使方程两根的倒数和为2.3已知关于x的一元二次方程x22kxk222(1x)有两个实数根x1、x2.(1)求实数k的取值范围；(2)若方程的两实数根x1、x2满足|x1x2|x1x21，求k的值解：(1)方程整理为x22(k1)xk20.根据题意，得4(k1)24k20，解得k.(2)根据题意，得x1x22(k1)，x1x2k2.|x1x2|x1x21，|2(k1)|k21.k，2(k1)k21.整理得k22k30，解得k13，k21(舍去)，k3.4已知关于x的一元二次方程x2(2m3)xm20有两个实数根x1，x2.(1)求实数m的取值范围；(2)若x1x26x1x2，求(x1x2)23x1x25的值解：(1)由题意，得(2m3)24m24m212m94m212m90，m.(2)由题意可得x1x2(2m3)32m，x1x2m2，又x1x26x1x2，32m6m2.m22m30.m13，m21.又m，m1.x1x25，x1x21.(x1x2)23x1x25(x1x2)24x1x23x1x25(x1x2)2x1x25521519.5已知关于x的方程x2(k1)xk210的两根是一个矩形两邻边的长(1)k取何值时，方程有两个实数根；(2)当矩形的对角线长为时，求k的值；(3)当k为何值时，矩形变为正方形？解：(1)(k1)24×1×(k21)2k3.方程有两个实数根，0，即2k30，解得k.当k时，方程有两个实数根(2)设方程x2(k1)xk210的两根分别为a、b，则abk1，abk21.矩形的对角线长为，即a2b25，a2b2(ab)22ab(k1)22×(k21)5，整理，得k24k120，解得k2或k6(舍去)当矩形的对角线长为时，k的值为2.(3)当矩形为正方形时，方程两根相等，2k30，解得k.当k时，矩形变为正方形