2017年高中数学 第二章 参数方程 第2节 直线和圆锥曲线的参数方程 第1课时 直线的参数方程检测 北师大版选修4-4

第二讲第二节第一课时 直线的参数方程一、选择题(每小题5分，共20分)1已知直线(t为参数)，下列命题中错误的是()A直线经过点(7，1)B直线的斜率为C直线不过第二象限D|t|是定点M0(3，4)到该直线上对应点M的距离解析：直线的普通方程为3x4y250.由普通方程可知，A、B、C正确，由于参数方程不是标准式，故|t|不具有上述几何意义，故选D答案：D2以t为参数的方程表示()A过点(1，2)且倾斜角为的直线B过点(1,2)且倾斜角为的直线C过点(1，2)且倾斜角为的直线D过点(1,2)且倾斜角为的直线解析：化参数方程为普通方程得y2(x1)，故直线过定点(1，2)，斜率为，倾斜角为.答案：C3双曲线1中，被点P(2,1)平分的弦所在的直线的方程是()A8x9y7B8x9y25C4x9y6 D不存在解析：设直线的参数方程为(t为参数)，代入双曲线方程，得4(2tcos)29(1tsin)236，整理得(4cos29sin2)t2(16cos18sin)t290.设方程的两个实根分别为t1，t2，则t1t2.因为点P平分弦，所以t1t20，即18sin16cos0，tan，即k.因此弦所在直线方程为y1(x2)，即8x9y7.答案：A4下列可以作为直线2xy10的参数方程的是()A(t为参数) B(t为参数)C(t为参数) D(t为参数)解析：题目所给的直线的斜率为2，选项A中直线斜率为1，选项D中直线斜率为，所以可以排除A、D两项；B、C两项中直线斜率均为2，但B项中直线的普通方程为2xy30.答案：C二、填空题(每小题5分，共10分)5过点P且倾斜角为30°的直线和曲线(t为参数)相交于A，B两点，则线段AB长为_ _.解析：直线的参数方程为(s为参数)，曲线(t为参数)可以化为x2y24.将直线的参数方程代入上式，得s26s100，设A，B对应的参数分别为s1，s2，s1s26，s1s210，|AB|s1s2|2.答案：26已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角，设l与曲线(为参数)交于两点A，B，则点P到A，B两点的距离之积为_ _.解析：直线的参数方程为则曲线的直角坐标方程为x2y24，把直线代入x2y24得224，t2(1)t20，t1t22，则点P到A，B两点的距离之积为2.答案：2三、解答题(每小题10分，共20分)7设直线l过点P(3,3)，且倾斜角为.(1)写出直线l的参数方程；(2)设此直线与曲线C：(为参数)交于A，B两点，求|PA|·|PB|；(3)设AB中点为M，求|PM|.解析：(1)直线l的参数方程是(t为参数)(2)把曲线C的参数方程中参数消去，得4x2y2160.把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程中，得422160.即13t24(312)t1160.由t的几何意义，知|PA|·|PB|t1·t2|，故|PA|·|PB|t1·t2|.(3)由t的几何意义，知中点M的参数为，故|PM|t1t2|.8已知直线l过点P(3,2)，且与x轴和y轴的正半轴分别交于A、B两点求|PA|·|PB|的值为最小时直线l的方程解析：设直线的倾斜角为，则它的方程为(t为参数)由A、B是坐标轴上的点知yA0，xB0，02tsin，即|PA|t|，03tcos，即|PB|t|.故|PA|·|PB|.90°180°，当2270°，即135°时，|PA|·|PB|有最小值直线方程为(t为参数)，化为普通方程即xy50.9(10分)在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南(arccos)方向300 km的海面P处，并以200 km/h的速度向西偏北45°方向移动台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？解析：方法一：如图建立坐标系，以O为原点，正东方向为x轴正向在时刻t(h)台风中心(，)的坐标为此时台风侵袭的区域是(x)2(y)2r(t)2，其中r(t)10t60，若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有(0)2(0)2(10t60)2，即22(10t60)2，即t236t2880，解得12t24.即12小时后该城市开始受到台风的侵袭方法二：如图，设在时刻t(h)台风中心为Q，此时台风侵袭的圆形区域半径为10t60(km)若在时刻t城市O受到台风的侵袭，则OQ10t60.由余弦定理知OQ2PQ2OP22·PQ·POcosOPQ.又由于OP300，PQ20t，所以cosOPQcos(45°)coscos45°sinsin45°××，故OQ2(20t)230022×20t×300×202t29 600t3002.因此202t29 600t3002(10t60)2，即t236t2880，解得12t24.即12小时后该城市开始受到台风的侵袭