2018高中数学 精讲优练课型 第三章 三角恒等变换 3.1.1 两角差的余弦公式课件 新人教版必修4

第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.1 两角差的余弦公式,【知识提炼】 两角差的余弦公式,coscos+sinsin,C(-),任意角,【即时小测】 1.思考下列问题 (1)公式 之间有什么关系？ 提示：公式 是公式cos(-)的特例. 即 .,(2)cos(-)=cos -cos ，一定成立吗？何时成立？ 提示：当=60°，=30°时，cos(-)=cos 30°= ， 而cos -cos =cos 60°-cos 30°= - . 所以cos(60°-30°)cos 60°-cos 30°，,因此对任意角， cos(-)=cos-cos不一定成立. 而当=45°，=90°时， cos(-)=cos(45°-90°)=cos 45°= ， cos-cos=cos 45°-cos 90°=cos 45°= ， 此时cos(-)=cos-cos成立， 即= +2k，kZ，= +2n，nZ时，cos(-)=cos -cos成立.,2.sin 11°sin 71°+sin 79°sin 19°=( ) A.1 B. C. D. 【解析】选D.sin 11°sin 71°+sin 79°sin 19° =cos 79°cos 19°+sin 79°sin 19° =cos(79°-19°)=cos 60°= .,3.若sinsin=m，coscos=n，则cos(-)=_. 【解析】cos(-)=coscos+sinsin=n+m. 答案：n+m,4.计算：cos 555°=_. 【解析】cos 555°=cos(720°-165°)=cos 165° =cos(180°-15°)=-cos 15°=-cos(45°-30°) =-(cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°) = . 答案：,5.已知sin= ， ，则 =_. 【解析】因为sin= ， ， 所以 . 所以 = . 答案：,【知识探究】 知识点 两角差的余弦公式 观察图形，回答下列问题： 问题1：观察上述图形，你能得出什么结论？ 问题2：根据公式C(-)，要计算C(-)需要哪些量？,【总结提升】 对公式C(-)的三点说明 (1)公式的结构特点 公式的左边是差角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的 和式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式.,(2)公式的适用条件 公式中的，不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”， 如 中的“ ”相当于公式中的角，“ ” 相当于公式中的角.,(3)公式的“活”用 公式的运用要“活”，体现在顺用、逆用、变用.而变用又涉及两个方面： 公式本身的变用，如 . 角的变用，也称为角的变换，如 .,【题型探究】 类型一 给角求值 【典例】1.sin 7°cos 23°+sin 83°cos 67°的值为( ) A. B. C. D. 2. 的值为( ) A. B.1 C. D. 3.cos 105°+sin 195°=_.,【解题探究】1.典例1中的求解关键是什么？ 提示：本题考查公式的逆用如何将式子转化为两角差的余弦公式的展开式的形式是关键 2. 典例2中的求解关键是什么？ 提示：本题考查公式的逆用如何将特殊的数值变形为特殊角的三角函数值，使式子转化为两角差的余弦公式的展开式是关键,3.典例3中的求解思路是什么？ 提示：先利用诱导公式，然后再利用两角差的余弦公式求解,【解析】1.选B.原式=cos 83°cos 23°+sin 83°sin 23° =cos(83°-23°)=cos 60°= . 2.选C.原式= = = .,3.cos 105°+sin 195°=cos 105°+sin(90°+105°) =cos 105°+cos 105°=2cos 105°=2cos(135°-30°) =2(cos 135°cos 30°+sin 135°sin 30°) = . 答案：,【方法技巧】运用两角差的余弦公式求值的关注点 (1)运用两角差的余弦公式解决问题要深刻理解公式的特征，切忌死记. (2)在逆用两角差的余弦公式解题时，要善于进行角的变形，使之符合公式特征. (3)在逆用公式解题时，还要善于将特殊的值变形为某特殊角的三角函数值.,【变式训练】求下列各式的值： (1)cos 15°cos 105°+sin 15°sin 105°. (2)cos(-35°)·cos(25°+)+sin(-35°)·sin(25°+). (3)cos 40°cos 70°+cos 20°cos 50°. 【解析】(1)原式=cos(15°-105°)=cos(-90°)=0. (2)原式=cos(-35°)-(25°+)=cos(-60°)= . (3)原式=cos 40°cos 70°+sin 70°sin 40° =cos(70°-40°)=cos 30°= .,类型二 给值求值 【典例】1.已知sin= ，sin= ，且180°270°，90°180°，则cos(-)=_. 2.已知 ，且 ，求cos的值.,【解题探究】1.典例1中，要求cos(-)还需要知道哪些量， 计算未知量时要注意什么？ 提示：要求cos(-)还需要知道cos和cos，计算时要注意，的取值范围. 2.典例2中，已知角， 如何建立关系？ 提示： .,【解析】1.因为sin= ，180°270°， 所以cos= ， 因为sin= ，90°180°，所以cos= ， 所以cos(-)=coscos+sinsin = . 答案：,2.因为 ，所以 ， 所以 . 所以 = = ， 即cos的值为 .,【延伸探究】 1.(变换条件)若典例2中条件变为“ ”， 则cos的值如何？,【解析】因为 又因为 所以 所以 所以 = =,2.(变换条件)典例2中条件“ ”改为 “ ”，结果如何？ 【解析】因为 所以 由 得 因为 = =,【方法技巧】给值求值问题的解题策略 (1)从角的关系中找解题思路 已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换. (2)常见角的变换 =(-)+； ； 2=(+)+(-)；2=(+)-(-).,【补偿训练】已知sin= ， ，则 的值为 _. 【解析】由sin= ，且 ，得cos= ， 所以 答案：,类型三 给值求角 【典例】1.(2015·南昌高一检测)已知为三角形的内角且 cos+ sin= ，则=_. 2.已知cos(-)= ，cos(+)= ，且 ， ，求角的值.,【解题探究】1.典例1中 cos+ sin通过怎样的变形之后才能应用两角差的余弦公式？ 提示： cos+ sin=cos cos+sin sin. 2.典例2中，已知角-与+与所求角有什么关系？ 提示：2=(+)-(-).,【解析】1.因为 cos+ sin=cos cos+sin sin = 所以 答案：,2.由 得sin(-)= . 由 得 =cos(+)cos(-)+sin(+)sin(-) 又因为 所以 所以2=，所以= .,【延伸探究】若本例2中 求的值. 【解析】因为 所以 又因为=(+)-， 所以cos=cos(+)-=cos(+)cos+sin(+)sin 又因为 所以= .,【方法技巧】已知三角函数值求角的解题步骤 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围. (2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数. (3)结合三角函数值及角的范围求角.,【变式训练】已知，均为锐角，且 求-的值. 【解析】因为，均为锐角，且 所以 所以cos(-)=coscos+sinsin 又因为 所以 又因为sinsin，所以，即-0. 所以- -0.所以-=- .,【补偿训练】已知向量a=(cos，sin)，b=(cos，sin)，(0，)且ab，求-的值. 【解析】因为ab，所以a·b=0， 即coscos+sinsin=0. 从而cos(-)=0. 因为，(0，)，所以-， 所以,易错案例 灵活应用两角差的余弦公式求值 【典例】(2015·汕头高一检测)在ABC中，sin(A+B)= ， cosB=- ，则cosA的值为_.,【失误案例】,【错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？ 提示：该解法忽略了隐含条件，没有注意角的范围，导致求值错误.在解题中应挖掘出 这个隐含条件.,【自我矫正】在ABC中， 因为 所以 所以,所以cosA=cos(A+B)-B =cos(A+B)cosB+sin(A+B)sinB 答案：,【防范措施】 1.重视角的范围的计算 应用两角差的余弦公式计算三角函数值时，经常有正(余)弦值计算余(正)弦值，此时特别注意计算角的范围.如本题中注意在三角形中，A+B+C=，A，B，C(0，). 2.注意拆角、凑角方法的应用 应用两角差的余弦公式计算三角函数值时，分析已知角与所求角的关系是探究解题思路的关键.如本题中，注意到A=(A+B)-B，就自然想到解题思路.,